Números triangulares (3) Propiedades interesantes

 

Continuamos la publicación de curiosidades sobre los números triangulares, que ya iniciamos en las dos entradas anteriores a esta.

Teorema de Gauss

 En la página de Wikipedia en español dedicada a los números triangulares, https://bit.ly/2Y2p6qc, puedes leer la historia del descubrimiento de Gauss de que todo número es suma de tres triangulares, si admitimos el 0 y la existencia de repetidos.

Por ejemplo,  elegido al azar el número 23761, se puede comprobar que, entre otros muchos casos, equivale a la suma T(67)+T(92)+T(185). Con cualquier calculadora se verifica que 67*68/2+92*93/2+185*186/2=23761.

Lo interesante es que, en general, existen muchas sumas de este tipo para un mismo número. En el de nuestro ejemplo, 23761, más de cien. En la imagen hemos recortado parte de ellas:

 

Es interesante destacar que también pueden existir sumas de dos triangulares, o, lo que es igual, que uno de los tres sea 0. Aquí tienes un ejemplo para 23761:

23761=25*26/2+216*217/2

Con el siguiente programa en PARI puedes descomponer un número en todas las ternas posibles de triangulares:

u=23761;for(i=0,sqrt(2*u+1),p=i*(i+1)/2;for(j=i,u-p/2,q=j*(j+1)/2;v=u-p-q;if(issquare(8*v+1),if(v>=p&&v>=q,print(p,", ",q,", ",v)))))

Para otro número cualquiera basta sustituir u=23761 por el valor adecuado. Por ejemplo, para u=73 quedaría:

 

El listado ha sido recortado al probar el algoritmo para el 73 en https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

También aquí hay una solución con dos triangulares (y el cero).

 

Toda cuarta potencia es suma de dos triangulares de dos formas distintas

La primera forma se desprende de una propiedad vista con anterioridad, y es que todo cuadrado es suma de dos triangulares consecutivos. Si lo adaptamos a una cuarta potencia quedará:

 

Por ejemplo, 3^4=81=9(9+1)/2+9(9-1)/2=45+36=T(9)+T(8)

La segunda forma se basa en una identidad algebraica. Descompone la cuarta potencia en el triangular de orden n²-n-1 y el de orden n²+n-1, es decir:

   n⁴=(n²-1-n)(n²-1-n+1)/2+(n²-1+n)(n²-1+n+1)/2

Hemos comprobado esta identidad con la calculadora Wiris (que usa la variable X en lugar de N):

 

Así, por ejemplo, se cumple: 

5^4=625=T(19)+T(29)=19*20/2+29*30/2=190+435=625

 

La suma de los cuadrados de dos triangulares consecutivos es otro triangular

Por ejemplo, T(3)²+T(4)²=6²+10²=136=T(4²)

En este ejemplo resulta el triangular cuyo orden es el cuadrado del  mayor orden de los sumandos. Se puede demostrar sin problemas:

 

Dejamos aquí las propiedades generales de los números triangulares. En muchas otras entradas del blog podrás encontrar otras más específicas.