Triangulares que son oblongos

Un número triangular puede ser doble de otro triangular, como ocurre con el 6=3*4/2, que es doble de 3=2*3/2. Como a los dobles de los triangulares les llamamos oblongos, de ahí el título de esta entrada: triangulares que también son oblongos. Recordemos que la fórmula del triangular de orden n es T(n)=n(n+1)/2 y la del oblongo O(n)=n(n+1).

En nuestro almacén de funciones disponemos de estas dos, que nos pueden servir para una búsqueda:

Public function estriangular(n) as boolean
dim a
a = Int(sqr(8*n+1))
if a*a=8*n+1 then estriangular = true else estriangular = false
end function

Public Function esoblongo(n) As Boolean
If escuad(4 * n + 1) Then esoblongo = True Else esoblongo = False
End Function

No las explicamos porque su uso es muy frecuente en este blog y, si usas la búsqueda, te encontrarás con ellas en muchas cuestiones.

Si aplico estos dos criterios de búsqueda con Excel o Calc, rápidamente obtendré las primeras soluciones:

Por ejemplo, 210 es el triangular número 20 (210=20*21/2) y también el oblongo de orden 14, pues 210=14*15.

Gráficamente:

Triangular 210: 1+2+3+4+…+19+20

Oblongo 210=15*14

Para encontrar más, es conveniente pasar al lenguaje PARI y tener en cuenta que en los triangulares T, es un cuadrado la expresión 8T+1, y en los oblongos 4T+1. De esa forma resulta un código muy breve:

for(i=1, 10^8, if(issquare(8*i+1)&&issquare(4*i+1), print(i)))

Con él conseguimos unos ejemplos más:

Puedes consultar los siguientes en http://oeis.org/A029549

0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770, 279909630, 9508687656, 323015470680, 10973017315470, 372759573255306, 12662852473364940, 430164224521152660, 14612920781245825506, 496409142337836914550, 16863297918705209269200

Observamos que no hay muchos ejemplos, y que crecen rápidamente.

Estudio teórico

Al estudiar números poligonales, casi todas las situaciones terminan siendo previsibles, porque la búsqueda puede traducirse en un estudio teórico y en la resolución de alguna ecuación diofántica. En el caso que estudiamos se trataría de la ecuación de Pell, sobre la que disponemos de una herramienta con hoja de cálculo.

En primer lugar, planteamos que un triangular equivalga a un oblongo:

Comenzamos con x(x+1)/2=y(y+1)

Al desarrollar productos queda x²+x=2y²+2y

En estas cuestiones es frecuente completar cuadrados multiplicando por 4 y sumando algo, en este caso un 2: 4x²+4x+2=2(4y²+4y+1); (2x+1)²+1=2(2y+1)²

Si cambiamos de variable: a=2x+1;  b=2y+1, queda a²-2b²=-1

Esta ecuación es de tipo Pell, con un coeficiente D=2 en el segundo cuadrado. La resolveremos con nuestra hoja PELL

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell

El problema de esta ecuación es que se resuelve mejor si el segundo miembro es igual a 1. No entraremos en teorías, que ya publiqué en este blog:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/02/ecuacion-de-pell.html

En esta herramienta comienzas por escribir el valor de D, que en este caso es 2 y el del segundo miembro, que es -1:

A continuación, la hoja aplica un algoritmo de fracciones continuas y sus reducidas y ofrece soluciones. En este caso se alternan las correspondientes a 1 con las de -1:

Hemos tenido suerte, y obtenido soluciones para el valor -1, pero estas son soluciones para A y B, y después hay que pasarlas a X y a Y:

En las dos últimas columnas aparecen las primeras soluciones de los triangulares que son idénticos a unos oblongos

Podemos seguir encontrando nuevos casos, porque la ecuación de Pell produce recurrencias, que recoge la herramienta nuestra que estamos utilizando:

Estas soluciones se han obtenido mediante la recurrencias x_n=x_n-1+2y_n-1, y_n=x_n-1+y_n-1. Este tema lo puedes estudiar en la entrada enlazada.

Son las recurrencias en Pell, pero como se alternan las soluciones 1 y -1, hay que reiterar cada recurrencia, y queda:

x_n=3x_n-1+4y_n-1

y_n=2x_n-1+3y_n-1

A partir de la primera solución X=1, Y=1, que corresponde al triangular 0, podemos, con estas iteraciones, comprobar las dos primeras columnas de la tabla obtenida:

Se puede comprobar con facilidad: 7=3*1+4*1, 5=2*1+3*1, 41=3*7+4*5 y 29=2*7+3*5, y así con todos. A partir de los dos últimos valores A=47321 B=33461 se pueden construir los siguientes, y completar la tabla hasta el límite que se desee. No sería una búsqueda, sino una obtención rigurosa.

Obtención de un listado por recurrencia

Las ideas anteriores se pueden plasmar en este código PARI:

a=1;b=1;for(i=1, 12, a1=3*a+4*b;b1=2*a+3*b;a=a1;b=b1;c=(b-1)/2;print(c*(c+1)))

En él se someten A y B a la recurrencia y después se extrae de su valores un nuevo triangular oblongo. Este listado devuelve el compilador:

Lo importante es que se puede avanzar siempre y que, por tanto, existen infinitos triangulares oblongos.

Recurrencia

Si los valores de X e Y siguen una recurrencia lineal, los triangulares que dependen de ellos también seguirán una propia. Para no enredarnos en cálculos algebraicos, usaremos una ecuación del tipo T(n+1)=A*(T(n)+B*T(n-1)+C. Le daremos tres juegos de valores para obtener un sistema de ecuaciones que nos dará los valores de A, B y C. Es un método rápido.

Usaremos los valores 0, 6, 210, 7140 y 242556. Quedará (sustituimos A, B, C por X, Y, Z para la resolución automática):

210=6X+0Y+Z

7140=210X+6Y+Z

242556=7140X+210Y+Z

Se resuelve con WIRIS (https://calcme.com/a) :

Coincide con la publicada en OEIS:

a(n+2) = 34*a(n + 1) - a(n) + 6. - Charlie Marion, Feb 11 2011

Por ejemplo, 7140=34*210-6+6.

Hemos combinado búsqueda con teoría, que es la mejor forma de iniciar un tema.