Números poligonales doblemente centrados

El día 17/02/21 publiqué en Twitter (@connumeros) lo siguiente:

17221 es un número multipoligonal centrado, porque equivale a un poligonal de ese tipo de 20 lados con medida 42 y también a otro de 21 lados y medida 41. Es interesante comparar las fórmulas:

17221=(20×42^2-20×42+2)/2

17221=(21×41^2-21×41+2)/2

Esto, que parece una casualidad, me llamó la atención por el hecho de que 42 es el doble de 21, y eso podría suponer que este tipo de coincidencias fuera más frecuente de lo esperado inicialmente. En efecto, existen coincidencias de este tipo y otros parecidos con abundancia de casos concretos.

En primer lugar hay que recordar que los poligonales centrados se forman mediante figuras concéntricas, y no adosadas como los poligonales usuales.

En la imagen está representado el triangular centrado de orden 3, que equivale a 10 unidades. En efecto, según la fórmula

 

POLC(3,3)=(3*3^2-3*3+2)/2=(27-9+2)/2=10

(Ver mi publicación “Números y formas”, http://www.hojamat.es/publicaciones/numform.pdf)

Podríamos usar esta fórmula para estudiar la casualidad que publiqué en Twitter:

POLC(20, 42)=(20×42^2-20×42+2)/2=17221

POLC(21,41)=(21×41^2-21×41+2)/2=17221

En general, usaremos las variables (n, k) para el primer poligonal y (n+1, k-1) para el segundo, olvidando por ahora si n es el doble de k+1 o no. Es decir, restringiremos la búsqueda al caso en el que los dos parámetros, número de lados n y orden k sean consecutivos con su par.

Podemos plantear esta igualdad:

(n*k²-n*k+2)/2=((n+1)*(k-1)²-(n+1)*(k-1)+2)/2

Simplificando y agrupando factores queda:

  n*(k²-k)=(n+1)((k-1)^2-(k-1))

O bien

nk(k-1)=(n+1)(k-1)(k-2)

nk=(n+1)(k-2)=nk+k-2n-2

k=2(n+1)

Luego el hecho de que 42 fuera el doble del 21 no era casual, sino obligado en este caso.

Así que todo poligonal centrado en el que n sea el doble de k-1 debe cumplir la condición de partida. Lo vemos:

En la tabla comenzamos con los números pares consecutivos y con su mitad menos 1 como orden. Aplicamos las fórmulas con parámetros consecutivos y comprobamos que da el mismo resultado. En la última fila se ha añadido el caso de 17221.

Esta tabla se podría prolongar y comprobaríamos que todos los poligonales centrados en los que el orden k sea par y el número de lados el adecuado (k/2-1) presentarán esta coincidencia.

Ya tenemos resuelto el caso planteado, pero en este blog nos seguimos planteando siempre segundas preguntas, y, en este caso ¿existirán muchos números multipoligonales centrados además de los estudiados?

Caso general

Para descubrir a cuántos poligonales centrados equivale uno concreto recorreremos todos los posibles parámetros n y k tomando nota de las repeticiones.

Poligonales no triviales

Al igual que con los números poligonales usuales, todo número entero positivo es poligonal centrado, ya que es igual a la unidad más un polígono de dos unidades por lado. En la imagen vemos el número 9 representado por la unidad centrada con un octógono, es decir, con un lado menos y dos unidades por lado:

Muchos números sólo poseen esta representación como poligonales centrados. Les llamaremos poligonales centrados triviales. Los no triviales están publicados en http://oeis.org/A275340 y los primeros son (han incluido casos con n<3, como 4 y 7):

4, 7, 10, 11, 13, 16, 19, 21, 22, 25, 28, 29, 31, 34, 37, 40, 41, 43, 46, 49, 51, 52, 55,…

Esto acota nuestra búsqueda, porque el caso trivial se repite demasiado y no nos interesa.

Comenzaremos, como casi siempre en este blog, con una función de Excel, que nos devolverá las formas de ser poligonal centrado de cada número. Veremos que se excluye el caso trivial:

Function multipoligc$(n)

Dim i, j, m

Dim s$

s = "" ‘Variable que recibirá los resultados

m = 0 ‘Número de resultados

For i = 3 To n ‘Número de lados, comenzando en 3

For j = 3 To n ’ Unidades por lado, evitando el caso trivial de 2

If n = (i * j * (j - 1) + 2) / 2 Then m = m + 1: s = s + Str$(i) + Str$(j) + "  # " ‘Existe una solución. Se incrementa el contador y se incorpora al conjunto obtenido

Next j

Next i

If s <> "" Then s = ajusta(m) + ":" + s ‘Se añade el contador al resultado

multipoligc = s

End Function

Si el resultado de esta función es la cadena vacía, es que no es “multipoligonal” y, en caso contrario, la cadena contiene el número de soluciones y sus parámetros.

Estos serían los primeros no triviales:

 

Los resultados se inician con el número de soluciones. Por ejemplo, el 43 posee dos formas de ser poligonal centrado, una de 7 lados y orden 4 y otra de 14 lados y orden 3.

En efecto, 43=1+7+14+21 y también 43=1+14+28, sumas de capas concéntricas (o múltiplos de 7 y 14)

Observamos que 61 posee cuatro representaciones. La razón es que 61-1=60 posee muchos divisores distintos.

El número con el que comenzamos este estudio, 17221, presenta 10 formas de ser poligonal centrado:

17221: 10: 20 42  #  21 41  #  82 21  #  164 15  #  615 8  #  820 7  #  1148 6  #  1722 5  #  2870 4  #  5740 3  #

Entre ellas, las que dieron lugar a estas búsquedas, 20 42 y 21 41