Otros poligonales

Existen infinitos tipos de números poligonales. Hemos llegado hasta ahora hasta los octogonales, y a partir de ellos los temas se repiten demasiado. En esta última entrada sobre ellos nos limitaremos a publicar su fórmula, algún enlace interesante y alguna propiedad. Para todos ellos es válida nuestra calculadora Calcupol

(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados)

 Números nonagonales

Son aquellos formados por polígonos de nueve lados adosados como es habitual en los poligonales. En la imagen figura el nonagonal de orden 4, que contiene 46 unidades.

Fórmula

Aplicamos la fórmula general de los poligonales para k=9 y llamamos N(n) al nonagonal de orden n:

Siguiendo el objetivo de esta entrada, solo destacaremos lo más importante.

Alguna propiedad

Un nonagonal se relaciona con los triangulares mediante esta equivalencia:

7*N(n)+3=T(7n-3)

Es fácil verlo

Por ejemplo, 111 es el nonagonal de orden 6, y se cumple:

7*111+3=780=T(39)=T(7*6-3), luego es equivalente 7*111+3 al triangular número 39, es decir 7*6-3.

 Criterio para reconocerlos

Según la propiedad anterior, 8*(7N+3)+1 ha de ser un cuadrado (criterio de los triangulares)

Luego debe serlo 56N+25. Si se cumple que esta expresión es cuadrada, y tiene raíz cuadrada R entera, N será nonagonal. Sustituyo N por su expresión y queda 56n(7n-5)/2+25=R²; 4*49n²-5*4*7n+25=R²;

(14n²-5)²=R²; luego 14n²-5=R, y queda

Un ejemplo:¿Es nonagonal 2301?

Formamos 56*2301+25 y resulta 128881, que es cuadrado perfecto de raíz 359. Usamos la fórmula anterior y obtenemos n=(359+5)/14=26. Como es entero, la respuesta es afirmativa, 2301 es el nonagonal de orden 26.

Listado

Los primeros nonagonales están publicados en http://oeis.org/A001106

0, 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969, 1089, 1216, 1350, 1491, 1639, 1794, 1956, 2125, 2301, 2484, 2674, 2871, 3075, 3286, 3504, 3729, 3961, 4200, 4446, 4699, 4959, 5226, 5500, 5781, 6069,…

Como es costumbre en esa página, se incluye el 0.

Recurrencia

Sólo destacaremos una última propiedad, y es que se generan con una recurrencia lineal de tercer orden y coeficientes (3, -3, 1)

Volcamos la imagen de nuestra hoja http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Hemos considerado también el cero como elemento inicial. Con el botón de “Ver sucesión” nos resulta el listado de nonagonales:

Con esto terminamos para dar paso a los decagonales.

 

Números decagonales

Un número decagonal  cuenta decágonos anidados, al igual que ocurrió en los tipos anteriores con sus polígonos correspondientes.

En la imagen podemos distinguir cuatro decágonos anidados más el correspondiente a un punto, por lo que se tratará de un decagonal de orden 5, número que coincide con las unidades contenidas en cada lado.

Fórmula

Repetimos el trabajo efectuado en ocasiones anteriores, sin explicación ya. Nombraremos el número decagonal como D(n):

Por ejemplo, el decagonal de la imagen anterior equivale a

D(5)=4*25-3*5=100-15=85

Si tienes paciencia, puedes contarlos.

Con esta fórmula podemos encontrar los primeros decagonales. Están publicados en http://oeis.org/A001107

 1 , 10 , 27 , 52 , 85 , 126 , 175 , 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, 1540,… (hemos omitido el 0)

La fórmula obtenida se puede interpretar de otra forma:

D(n) = 4n²-3n = n²+3n(n-1), lo que se puede ver como la suma de un cuadrado con el triple de un número oblongo. No tiene mucho interés, salvo que, como los oblongos son todos pares y su triple también, los números decagonales tienen la misma paridad que su número de orden. Se puede comprobar en el listado.

Alguna propiedad

El decagonal de orden n equivale a la suma de 2n enteros consecutivos a partir de n-1 (Bruno Berselli, Jan 16 2018)

La demostración se basa en la fórmula de las progresiones aritméticas. En este caso el último término es 3n-2, luego queda:

Efectivamente, obtenemos un decagonal.

Lo comprobamos con el decagonal de orden 3, que es el 27. Deberemos sumar 6 enteros consecutivos a partir del 2: 2+3+4+5+6+7=27, que era lo esperado.

Suma de impares con resto 1 módulo 8

Esta propiedad es una adaptación de otra más general, pero su sencillez hace que merezca su inclusión. Por ejemplo, 85 es el decagonal número 5, y debe ser equivalente a la suma 1+9+17+25+33, y así es.

Un homenaje a Ramanujan

Neven Juric incluye este desarrollo en http://oeis.org/A001107

1^3 + 3^3*(n-1)/(n+1) + 5^3*((n-1)*(n-2))/((n+1)*(n+2)) + 7^3*((n-1)*(n-2)*(n-3))/((n+1)*(n+2)*(n+3)) + ...

Merece la pena comprobarlo, por ejemplo para n=4, cuyo decagonal es 52:

1^3+3^3*3/5+5^3*(3*2)/(5*6)+7^3*(3*2*1)/(5*6*7)

Lo hemos calculado con Wiris (https://calcme.com/a):

Valga como homenaje al genio.

Una recurrencia

Finalizamos con una recurrencia y nuestra herramienta para ellas, ya usada en los nonagonales:

a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3) for n>2, a(0)=0, a(1)=1, a(2)=10. - Jaume Oliver Lafont, Dec 02 2008

Aplicamos los datos a nuestra hoja de cálculo http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Usamos el botón para ver sucesión y, en efecto, obtenemos los primeros decagonales (con el 0):

 

Números undecagonales

A los poligonales de 11 lados les prestaremos menos atención. Dejamos el estudio en pocos detalles:

Fórmula

Es fácil ver que es la siguiente:

Con ella podemos construir una columna en hoja de cálculo con los primeros undecagonales:

Están publicados en http://oeis.org/A051682

Números dodecagonales

Finalizamos la entrada con este tipo de poligonales, y también nos limitaremos a dos o tres propiedades.

Imagen

A partir de estos lados los polígonos se van redondeando, adquiriendo la apariencia de circunferencias:

Este es el dodecagonal de orden 4, que contiene 64 unidades. Ya es difícil contarlas porque unos lados se confunden con otros.

Fórmula

Es sencillo demostrar que es D(n)=5n²-4n

Con esta fórmula generamos los primeros números dodecagonales:

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729,… http://oeis.org/A051624

Para no repetir cuestiones, dejamos el tema aquí. En los enlaces contenidos en esta entrada podrás leer más propiedades.