Suma de cuadrados de cifras (3) Suma de cuadrados que es cuadrada

Esta entrada pertenece a la serie sobre la suma de los cuadrados de las cifras de un número, de las que ya se han publicado dos:

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/11/suma-de-cuadrados-de-cifras-1-un.html

y

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/11/suma-de-cuadrados-de-cifras-2-un.html

Con la suma de los cuadrados de las cifras podemos construir otro cuadrado, ya bien sea con las cifras solas o sumándolas al número total. También si sumamos las cifras sin elevar al cuadrado o si acumulamos también el número original. Busquemos, pues, cuadrados.

Suma de cuadrados de cifras que es cuadrada

Esta cuestión tiene algo de trivial, pero nos permitirá repasar algunos conocimientos. Es fácil ver que la posibilidad de que la suma de los cuadrados de las cifras sea cuadrada depende de su número

Una cifra

Todos los números de una sola cifra cumplirán lo exigido. Teniendo en cuenta el cero tendríamos 10 soluciones.

Dos cifras

Para que la suma de cuadrados de cifras sea cuadrada, una de ellas ha de valer cero, o las dos han de pertenecer a una terna pitagórica, pero solo existen dos casos: {3, 4} y {6, 8}. En el primer caso tendremos 9 posibilidades: 10, 20, 30,…90, y en el segundo 4: 34, 43, 68 y 86.

Así que de dos cifras sólo obtendremos 13 resultados.

Hemos efectuado una búsqueda con la función MASSUMACIF (ver anterior entrada sobre este tema en ENLACE) y el listado confirma estos cálculos, como era de esperar:

N                           SUMA CUAD. CIF.

1                           1

2                           4

3                           9

4                           16

5                           25

6                           36

7                           49

8                           64

9                           81

10                         1

20                         4

30                         9

34                         25

40                         16

43                         25

50                         25

60                         36

68                         100

70                         49

80                         64

86                         100

90                         81

Tres cifras

Este caso es más interesante, pues permite repasar las ternas pitagóricas  en tres dimensiones. Con una cifra cada una resultan ser estas:

{1, 2, 2}, {1, 4, 8}, {2, 3, 6}, {2, 4, 4}, {2, 6, 9}, {3, 6, 6}, {4, 4, 7}, {4, 8, 8}, {6, 6, 7}

Puedes comprobar mentalmente que la suma de cuadrados de cada una es otro cuadrado.

Uso de Cartesius

Con nuestra herramienta para producir productos cartesianos condicionados, Cartesius, alojada en

(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

podemos ver las combinaciones de tres cifras que producen un cuadrado con sus cuadrados sin olvidar ninguna.

El planteo sería:

xtotal=3

xt=1..9

xt=suc(n^2)

suma:cuadrado

creciente

Es fácil de interpretar: se combinan tres conjuntos de cifras del 1 al 9, se elevan al cuadrado y se exige que la suma sea cuadrada. Para abreviar, solo se presentarán las soluciones en orden creciente.

El resultado es:

1             2             2             9

1             4             8            81

2             3             6            49

2             4             4            36

2             6             9           121

3             6             6             81

4             4             7             81

4             8             8           144

6             6             7           121

Con esta tabla los podemos contar sumando variaciones: 3+6+6+3+6+3+3+3+3=36, y saldrán sólo los que no contienen la cifra 0.

Esto nos da el siguiente recuento para tres cifras:

(1) Números cuyas cifras pertenecen a estas ternas

Habrá que contar los distintos órdenes de cada una: 3+6+6+3+6+3+3+3+3=36

(2) Provenientes de los casos de dos cifras pitagóricas intercalando un cero, como en 304 o 430. Resultarían 4*2=8 casos.

(3) Los terminados en dos ceros, que serían 9 más.

En total obtendríamos 36+8+9=53

En este listado tienes la comprobación, pues resultan 53:

100, 122, 148, 184, 200, 212, 221, 236, 244, 263, 269, 296, 300, 304, 326, 340, 362, 366, 400, 403, 418, 424, 430, 442, 447, 474, 481, 488, 500, 600, 608, 623, 629, 632, 636, 663, 667, 676, 680, 692, 700, 744, 766, 800, 806, 814, 841, 848, 860, 884, 900, 926, 962

Si pasamos a cuatro cifras, cambiando xtotal a cuatro, resultan 26 combinaciones distintas salvo el orden y 203 con él.

Destacan las soluciones formadas por cuatro cifras iguales, que pertenecen al conjunto porque la suma equivale a multiplicar por 4, lo que las convierte en un nuevo cuadrado.

Todos estos casos se pueden unificar con el uso de la función sumacifras(n;k) que estudiamos en la primera entrada de esta serie ENLACE. Basta exigir que esa suma de cifras, para k=2, sea cuadrada.

Aquí tienes un listado de los números que cumplen la propiedad desde 100 hasta 300. Junto a ellos figura la suma de cuadrados de sus cifras:

Se puede comprobar que las tres cifras de cada elemento constituyen una terna pitagórica, como se vio más arriba.

El listado completo lo tienes en http://oeis.org/A175396

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 34, 40, 43, 50, 60, 68, 70, 80, 86, 90, 100, 122, 148, 184, 200, 212, 221, 236, 244, 263, 269, 296, 300, 304, 326, 340, 362, 366, 400, 403, 418, 424, 430, 442, 447, 474, 481, 488, 500, 600, 608, 623, 629, 632, 636, 663,…