Volvemos a los números AROLMAR (8) Números “superarolmar” y otros parientes

Con este título algo humorístico de superarolmar identificamos los números arolmar en los que la media prima de sus factores primos es también divisor del número. Por ejemplo, el número 20915 tiene como factores 5, 47 y 89, cuya media es precisamente el 47, primo y divisor de 20915. Aunque sin ese nombre, están contenidos en la sucesión http://oeis.org/A229094 ya publicada:

105, 231, 627, 897, 935, 1365, 1581, 1729, 2465, 2967, 4123, 4301, 4715, 5313, 5487, 6045, 7293, 7685, 7881, 7917, 9717, 10707, 10965, 11339, 12597, 14637, 14993, 16377, 16445, 17353, 18753, 20213, 20757, 20915, 21045, 23779, 25327, 26331, 26765, 26961,…

Es evidente que forman una subsucesión de nuestros arolmar (https://oeis.org/A187073), y como tales, han de ser todos impares, compuestos y libres de cuadrados. Podemos encontrarlos con hoja de cálculo y una rutina similar a la siguiente (la hemos simplificado un poco):

For i = j To l
If esarolmar(i) Then
a = sopf(i) / f_omega(i)
If esmultiplo(i, a) Then msgbox(i)
End If
End If
Next i

En PARI

prevcond(n)=issquarefree(n)&&!isprime(n)
sopf(n)= { my(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); s }
averg(n)={my(s); s=sopf(n)/omega(n); return(s)}
esarolmar(n)={my(a=averg(n),s);s=prevcond(n)&&a==truncate(a)&&isprime(a); s}
{for(i=2,10^5,if(esarolmar(i),p=averg(i);if(i/p==truncate(i\p),print1(i,", "))))}


Al factorizar estos números nos hemos dado cuenta de que casi todos tienen tres factores, por lo que los destacamos aparte:

Caso de tres factores

Los primeros superarolmar con tres factores son estos:

105, 231, 627, 897, 935, 1581, 1729, 2465, 2967, 4123, 4301, 4715, 5487, 7685, 7881, 9717, 10707, 11339, 14993, 16377, 17353, 20213, 20915, 23779, 25327, 26331, 26765, 29341, 29607, 32021, 33335, 40587, 40807, 42911, 48635, 49321, 54739, 55581, 55637, 59563, 60297, 63017,…

Sorprendentemente, no estaban publicados en OEIS, y los hemos añadido en la sucesión http://oeis.org/A262723

Según la definición, los tres factores primos formarán una progresión aritmética, y el del centro será la media prima de los tres (o de los otros dos). Por ejemplo, 627 tiene como factores primos 3, 11 y 19, siendo 11 la media prima de todos y también un factor primo de 627. Por tanto, en estos casos, el número dado se forma mediante la media (11 en este caso) y la descomposición de su doble (22 en el ejemplo, 22=3+19) en suma de dos factores primos. Como ves, Goldbach no nos abandona.

Otro ejemplo: 5487=3*31*59, con lo que 5487 es el producto de 31 por dos primos que suman su doble (62=3+59), y es obvio que los tres 3, 31 y 59 forman una progresión aritmética. Hemos investigado la diferencia en esa progresión y puede ser cualquier número par, múltiplo de 4 si los primos son los tres del mismo tipo (4k+1 o 4k+3).

Otra consecuencia de la definición es que si suprimimos en el producto de factores el que equivale a la media de los tres, el producto de los otros dos forma un semiprimo arolmar, que en el ejemplo sería 3*59=177. Tenemos pues la misma situación de entradas anteriores, que si multiplicamos los factores de un semiprimo arolmar por su media, resulta otro arolmar, que es superarolmar con tres factores.

También pertenecen a la sucesión http://oeis.org/A203614, formada por aquellos números N en los que, si se forma el polinomio (x-p₁)(x-p₂)…(x-p_k), p₁ < p₂ < … < p_k  con todos los divisores primos de N, su integral definida entre el menor p₁ y el mayor p_k, es nula. Es una simple curiosidad derivada de la simetría del polinomio entre los dos primos extremos:

La gráfica se ha construido a partir del número 627 y sus factores 3, 11 y 19. Se percibe su simetría y, por tanto, la anulación de la integral.

Si uno de los divisores primos es el 3, el número dado será divisible entre la suma de los tres divisores primos, ya que ésta equivale a 3p₂, y el cociente entre ambas será p₃. Esto ocurre en estos términos:

105, 231, 627, 897, 1581, 2967, 5487, 7881, 9717, 10707,…

Por ejemplo, 9717=3*41*79 y la suma de los tres factores, 123, siendo el cociente 9717/123 igual a 79, el mayor divisor primo. Por tener esta propiedad, estos términos pertenecen a http://oeis.org/A131647

Con más de tres factores

Con cuatro factores aparecen muchos menos:

1365, 5313, 6045, 7293, 7917, 10965, 12597, 14637, 16445, 18753, 20757, 21045, 26961, 28101, 28497, 30381, 34365, 35853, 40641, 42845, 47541, 47957,…

Un ejemplo: 7917=3*7*13*29, con suma de primos 52 y media 13, que lo es también de 3, 7 y 29, cuyo producto, como en el caso anterior, también es un número arolmar: 3*7*29=609, con media prima el ya sabido 13.

En una mayoría de casos la media se corresponde con el tercer divisor primo (en orden creciente), pero también se da el caso de que sea el segundo, como en 7293= 3*11*13*17, en el que la media es 11, el segundo factor primo.

Estos son los primeros con cinco factores que hemos encontrado:

Los que tienen como factor 5, según un razonamiento similar al caso de tres, serán divisibles entre la suma de los divisores primos. Así tenemos que 49335=3*5*7*13*37, y la suma de los cinco factores es 55, y se cumple que 49335=55*897=55*3*13*23. El cociente 897 también pertenece al tipo de números que estamos estudiando, pero no seguiremos por ahí.

Sólo a título de curiosidad, hemos encontrado, con seis, estos dos ejemplos:

Y, por último, con siete:

Lo dejamos, pues no parece que se vayan a descubrir más propiedades interesantes.

Jerarquía de sucesiones respecto a los números arolmar

Los números arolmar pertenecen trivialmente a la sucesión http://oeis.org/A078177, que está formada por los números compuestos tales que la media de sus divisores primos es un entero.

4, 8, 9, 15, 16, 20, 21, 25, 27, 32, 33, 35, 39, 42, 44, 49, 50, 51, 55, 57, 60, 64, 65, 68, 69, 77, 78,…

Es la sucesión “madre” de todas las que vamos a considerar ahora, porque el que la media sea entera es la cuestión básica. Si no es entero, todo lo que hemos escrito hasta ahora sobra.

Los podemos generar en PARI mediante el código

sopfr(n)= { my(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]*f[i, 2]); s }
{forcomposite(i=4,200,m=sopfr(i)/bigomega(i);if(m==truncate(m),print1(i,", ")))}

Definimos SOPFR como la suma de divisores primos con repetición (por eso se multiplica por f[i, 2]) y bigomega como su cuenta. Dividimos y resulta la media, a la que exigimos que sea entera (m==truncate(m)).

El resultado es este, que coincide con el listado de A078177:

Un paso más sería exigir que los números fueran libres de cuadrados. Los primeros serían estos:

15, 21, 33, 35, 39, 42, 51, 55, 57, 65, 69, 77, 78, 85, 87, 91, 93, 95, 105, 110, 111, 114, 115, 119, 123, 129, 133, 141, 143, 145, 155,…

En todos ellos SOPF(N)/OMEGA(N) es un entero. En el listado ya se encuentran fácilmente los números arolmar.

El código en PARI se modificaría cambiando SOPFR por SOPF y BIGOMEGA por OMEGA (se elimina la repetición) y se exige que el número sea libre de cuadrados (issquarefree):

sopf(n)= { my(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); s }
{for(i=4,200,if(issquarefree(i),m=sopf(i)/omega(i);if(m==truncate(m)&&bigomega(i)>>1,print1(i,", "))))}

Así se generan fácilmente:

Al mismo nivel en jerarquía sería la sucesión determinada por la condición de que la media sea prima, pero sin exigir que el número sea libre de cuadrados. Está publicada en http://oeis.org/A134344 y también contiene a los arolmar.

4, 8, 9, 16, 20, 21, 25, 27, 32, 33, 44, 49, 57, 60, 64, 68, 69, 81, 85, 93, 105, 112, 116, 121, 125,…

En PARI volvemos a usar SOPFR y BIGOMEGA y suprimimos ISQUAREFREE:

sopfr(n)= { my(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]*f[i, 2]); s }
{forcomposite(i=4,500,m=sopfr(i)/bigomega(i);if(m==truncate(m)&&isprime(m),print1(i,", ")))}

Aquí tienes la comprobación:

Debajo de estos en la jerarquía estarían nuestros arolmar. A la condición de media entera le  añadimos la de que esa media sea prima. Sería la tercera exigencia.

En PARI:

sopf(n)= { my(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); s }
{forcomposite(i=4,500,if(issquarefree(i),m=sopf(i)/omega(i);if(m==truncate(m)&&isprime(m),print1(i,", "))))}

Aquí añadimos isprime(m), para exigir media prima. Se reproduce así nuestra sucesión con otro código más:

Si exigimos a los números arolmar que la media prima de factores primos sea también divisor del número, aparecerían los números “superarolmar” ya presentados:

sopf(n)= { my(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); s }
{forcomposite(i=4,10000,if(issquarefree(i),m=sopf(i)/omega(i);c=i/m;if(m==truncate(m)&&isprime(m)&&c==truncate(c),print1(i,", "))))}

Aquí exigimos que m sea divisor de i, mediante c==truncate(c)

Dentro de la jerarquía también entrarían los primos arolmar introducidos por Rafael Parra y otras variantes introducidas en la anterior entrada, pero los elementos principales ya están presentados.