Volvemos a los números AROLMAR (7) Números “arolmar” con más de dos factores

Los números arolmar semiprimos nos dieron bastante juego en la entrada anterior. Probaremos ahora con los que son producto de tres factores primos distintos (recuerda que son números libres de cuadrados).

Números arolmar con más de dos factores primos

Ya presentamos anteriormente la función ESAROLMAR

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html

que determina si un entero positivo es de tipo arolmar o no. La usaremos de nuevo en esta entrada para seguir descubriendo curiosidades.

Función arolmarentre

Puede resultar interesante una función que cuente los números arolmar existentes entre dos números, o los inferiores a uno dado, tal como se efectúa con los números primos y la función prime(N). Una vez tenemos definida la función esarolmar, bastará crear un bucle desde M hasta N y contar los arolmar que aparecen.

Hemos recorrido los enteros de 1000 en 1000 y contado los de tipo arolmar que aparecen en ellos. Cuando estudiamos los resultados observamos que existe bastante regularidad si se prescinde de pequeñas oscilaciones. Lo puedes observar en esta tabla, que llega hasta el 20000:

Hemos prolongado el estudio hasta 100000 con hoja de cálculo, resultando un incremento medio de unas 32 apariciones en cada millar, con un coeficiente de variación del 17%, bastante alto e indicativo del grado de oscilación que presentan los datos. Gráficamente:

Resulta interesante comparar estos datos con los que nos devuelve la función primo(n), que calcula los números primos existentes hasta n, o, en nuestro caso, entre dos enteros. Al compararlos advertimos un gran paralelismo, tanto que el cociente entre los números arolmar de cada intervalo y los números primos existentes en ellos muestra siempre valores cercanos a un promedio de 0,41, por lo que ambos fenómenos van a la par, como hemos comprobado para valores inferiores a 10^6:

Y gráficamente:

Estos resultados nos animan a relacionar la distribución de números arolmar con el teorema de los números primos, y ajustar a la expresión 0,42N/ln(N) (hemos aumentado el coeficiente para lograr un mejor ajuste). Lo hemos efectuado y resulta un coeficiente impresionante de R²=0,99999275. En la gráfica lo vemos:

Números arolmar con tres o más factores

Con la función esarolmar se pueden emprender búsquedas más fáciles. Por ejemplo, si le añadimos la condición de que el número de factores primos (f_omega(n)) sea igual a 3, nos resultarán los arolmar 3-p.

Los primeros son estos:

105, 195, 231, 465, 483, 609, 627, 645, 663, 861, 897, 915, 935, 969, 987, 1185, 1221, 1239, 1265, 1419, 1545, 1581, 1599, 1653, 1729, 1743, 1887, 2067, 2121, 2139, 2255, 2265, 2373, 2409, 2465, 2607, 2679, 2751, 2769, 2821, 2895, 2915, 2967…

Aquí tienes las descomposiciones factoriales de los primeros. Puedes comprobar mentalmente que el promedio de los tres factores es primo. Por ejemplo, 465=3*5*31 y la media de los tres factores es 13, otro primo.

Número arolmar r-p correspondiente a un primo dado

Siguiendo las ideas aportadas por Rafael Parra en el documento citado (http://www.hojamat.es/parra/arolmar.pdf), dado un primo P, si descomponemos 2P en todas las sumas de primos posibles y nos quedamos con la que presente el producto mínimo (o los factores más pequeños) encontraremos el primo arolmar correspondiente a P, que será precisamente ese producto, y los demás números arolmar asociados que no tendrán ese carácter minimal. Este procedimiento se aplica a cualquier número de factores, sustituyendo 2P por 3P, 4P,…por lo que dará lugar a números arolmar producto de un número cualquiera de factores.

Por ejemplo, deseamos encontrar el primo arolmar correspondiente al primo 11, con cuatro factores. Bastará encontrar todas las descomposiciones de 4*11=44 en sumas de cuatro primos y con media prima.

El mínimo 3045 será el primo arolmar que puede constituir una función del primo 11 y del número 4 de factores.

Aumento de factores a partir un número arolmar dado

Un caso interesante es el de aquellos números arolmar de tres factores que provienen de un arolmar semiprimo al que multiplicamos por la media de sus factores, que será prima:

Vemos en ellos que el segundo tiene los mismos factores que el primero, con el añadido de su media aritmética que también es prima. Los tres forman una progresión aritmética:

Si en una terna de primos en progresion aritmética multiplicamos los dos extremos obtenemos un arolmar semiprimo y si multiplicamos los tres, un arolmar de 3 factores. Coinciden las dos generaciones paralelas.

Esta operación nos plantea una pregunta: ¿es el número primo media entre los dos factores el único que convierte un arolmar semiprimo en otro de tres factores, o existen más?¿Es posible en todos los casos encontrar esos otros primos, o existen casos en los que no es posible?

Conjeturamos que la respuesta es afirmativa, ya que esta operación equivale a resolver el problema diofántico siguiente: La suma de los dos factores de un arolmar semiprimo es un número par, doble de primo. Si le añadimos otro primo, para que al multiplicar resulte otro arolmar, la suma debe ser el triple de otro primo, es decir, se debe encontrar solución a la ecuación 3X-Y=2P, con X,Y primos. Las soluciones de una ecuación diofántica se expresan como términos de una progresión aritmética, luego por el Teorema de Dirichlet podemos confiar en que existan entre ellas números primos.

Hemos preparado un algoritmo (algo complejo, por lo que no lo incluimos) para encontrar el menor primo que convierta un arolmar semiprimo en otro de tres factores, sin acudir a la media. Incluimos los primeros resultados:

Conjetura: Todo arolmar semiprimo se puede convertir en un arolmar de tres factores primos si se multiplica por un factor primo adecuado, distinto de la media prima.

Podemos expresar estas operaciones desde el punto de vista de la divisibilidad: hemos conseguido que todo arolmar semiprimo posea un múltiplo con tres divisores primos. La operación inversa no tiene por qué tener éxito: encontrar un número arolmar que sea divisor de otro.

Números arolmar con más factores

A continuación incluimos el listado de los primeros números arolmar con 4, 5 o 6 divisores primos distintos:

Con 4 factores

En la tabla figura el número, su descomposición factorial y la media prima de su factores. Te puedes ejercitar en comprobar esas medias. Por ejemplo: 5565 es arolmar porque la media de sus factores 3, 5, 7 y 53 es (3+5+7+53)/4=17, número primo.

Con cinco factores

Con seis