Damos vueltas a los triangulares cuadrados (2). Curiosidades.

En la anterior entrada generamos los números que son a la vez triangulares y cuadrados mediante varios algoritmos y fórmulas directas, tanto para hojas de cálculo como en el lenguaje PARI, e incluso a través de una función recursiva. En esta segunda entrada veremos algunas de sus propiedades y curiosidades sobre ellos.

Otra recurrencia

Según un comentario incluido en http://oeis.org/A001110, podemos tener en cuenta otra recurrencia a partir de n=3:

En efecto, 1225=(36-1)2/1, 41616=(1225-1)2/36, … O con hoja de cálculo:

Intenta averiguar cómo crear esta tabla siguiendo la recurrencia. La podemos expresar también como que la media geométrica entre el anterior y el siguiente a un término coincide con el cuadrado de ese término al que se le ha restado una unidad.

Una propiedad similar es que la media geométrica entre un término y el siguiente es también un número triangular. Lo tienes en esta tabla. Escribe los triangulares cuadrados e intenta después reproducirla:

En http://oeis.org/A029549 tienes estudiadas esas medias geométricas y puedes descubrir que estos números son oblongos y también su conexión con ciertas ternas pitagóricas. A partir de esta sucesión se abren tantos caminos que es mejor parar aquí.

Por otra parte, por ser cuadrados, los términos son suma de dos triangulares consecutivos, luego los triangulares cuadrados son “triangulares suma de dos triangulares consecutivos”

Raíz cuadrada

Ya que tratamos con cuadrados, sería interesante estudiar sus raíces cuadradas, que son estas:

0, 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860,…
(http://oeis.org/A001109)

Estos números no nos son desconocidos, pues son soluciones de la incógnita Y en la ecuación de Pell que usamos para encontrar sus cuadrados

Insertamos de nuevo la tabla que obtuvimos:

Más adelante veremos valores relacionados con la variable X.

Recurrencia entre las raíces

Al igual que sus cuadrados, estos números se pueden generar mediante una recurrencia de segundo grado. Para descubrirla operamos como en la entrada anterior

D_n=aD_n-1+bD_n-2+c usaremos los valores iniciales 0, 1, 6, 35, 204 para plantear:

6=a*1+b*0+c
35=a*6+b*1+c
204=a*35+b*6+c

Resolvemos

29=5a+b
169=29a+5b
169-5*29=169-145=24=4a    a=6, b=-1, c=0

Luego D_n=6D_n-1-D_n-2, que es la recursión que figura en A001109

Esta recurrencia la podemos comprobar con nuestra hoja de cálculo dedicada a ellas
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Escribimos los coeficientes 6 y -1

Y obtenemos la sucesión

Orden como triangulares

Al igual que hemos estudiado las raíces cuadradas de los triangulares cuadrados, también podemos fijar la atención en su orden como triangulares.

Para ello planteamos k(k+1)/2=A(n), siendo A(n) un término de la sucesión de triangulares cuadrados. Es fácil ver que la solución será

Se generará esta otra sucesión:

1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449, 11309768, 65918161, 384199200,… (http://oeis.org/A001108)

También estos números están relacionados con la ecuación de Pell de la anterior entrada

Basta recordar que llamamos x a 2n+1. Deshaciendo el cambio en la tabla:
(3-1)/2=1, (17-1)/2=8, (99-1)/2=49, (577-1)/2=288,… y así resultarán todos.

Según OEIS, su fórmula recursiva es idéntica a la de los anteriores, pero con término independiente igual a 2:

D_n=6D_n-1-D_n-2+2

Para no cansar a los lectores nos limitamos a comprobarla.

8=6*1-0+2, 49=6*8-1+2, 288=6*49-8+2,…

Diferencias entre términos

Si restamos cada dos términos consecutivos, el resultado coincide con las raíces cuadradas de los términos de orden impar. Es una propiedad muy curiosa, pero no he encontrado ninguna demostración elemental de la misma.

En la tabla, si elevamos las diferencias al cuadrado nos resultan los términos de orden impar. Son los de color rojo enlazados con flechas. Si, además, encontráramos su orden como triangulares, sería un cuadrado (compruébalo), y ellos mismos, además de triangulares serían hexagonales. Bastante curioso, como ves.

Recurrencia directa

Lekraj Beedassy, en http://oeis.org/A001110, propone la siguiente recurrencia no lineal que sólo depende del término anterior:

Esta propiedad permite engendrar de nuevo los números triangulares cuadrados en una hoja de cálculo directamente, sin macros, y con gran rapidez, con una fórmula similar a =1+17*I5+6*RAIZ(I5+8*I5^2), donde puedes sustituir I5 por el término anterior de la sucesión.