Relaciones entre un número y su sigma (1)

La función SIGMA(N), en su versión más simple, equivale al resultado de sumar todos los divisores de N. A lo largo de los años de existencia de este blog hemos acudido muchas veces a ella, pero hoy la vamos a relacionar con los números poligonales. Muchos resultados están ya publicados, y otros los presentaremos por primera vez.

Sigma triangular

Es fácil que SIGMA(N) sea un número triangular. Los números que cumplen esto los tienes publicados en http://oeis.org/A045746

1, 2, 5, 8, 12, 22, 36, 45, 54, 56, 87, 95, 98, 104, 116, 152, 160, 200, 212, 258, 328, 342, 356, 393, 427, 441, 473, 492, 531, 572, 582, 588, 660, 668, 672, 726, 740, 800, 843, 852, 858, 879, 908, 909, 910, 940, 962, 992,…

Es un estudio curioso el ver cómo son los números cuya sigma es triangular. Encontrando sus factores primos descubrimos que pueden ser de muchos tipos. Vemos algunos casos:

N número primo

Sólo existen dos casos de número primo con sigma triangular, el 2 y el 5. No hay más. Analizamos:

En el caso de P primo, SIGMA(N)=P+1. Si esta expresión es triangular, se deberá cumplir que t=m(m+1)/2 -1 debe ser primo, es decir: t=(m^2+m-2)/2=(m-1)(m+2)/2, con m>1, ha de serlo. En ese caso debe quedar un solo factor en el producto del numerador.

Puede ocurrir uno de estos hechos: (a) m-1=1, m=2 y t=1*4/2=2, que sería el primer caso. (b) m-1=2, m=3, t=2*5/2=5, que sería la otra solución (c) Cualquier otro valor positivo de m, 4, 5, 6,…produciría dos factores mayores que 2, uno de ellos par, que al dividir entre 2, seguirían teniendo dos factores y t no sería primo.

Puedes comprobarlo con este programa en PARI:

{n=2;while(n<10^8,if(ispolygonal(sigma(n,1),3),print(n);n=nextprime(n+1))}

Esto no demuestra nada, pero sólo obtendrías como soluciones 2 y 5.

N número triangular

Se han encontrado muchas soluciones de este caso, en el que un número triangular produce una sigma también triangular. Están publicadas en http://oeis.org/A083674

1, 36, 45, 23220, 105111, 135460, 2492028, 5286126, 6604795, 14308575, 45025305, 50516326, 54742416, 99017628,…

Entre ellos se presenta un caso muy curioso, y es que los números triangulares

2492028=2232*2233/2 y 6604795=3634*3635/2 tienen la misma suma de divisores, el triangular 8386560=4095*4096/2

Puedes reproducir la sucesión con PARI:

{(for (n=1,n=10^8,if(ispolygonal(n, 3) && ispolygonal(sigma(n), 3),print(n))))}

N número cuadrado

Este caso no estaba publicado, y lo hemos hecho en https://oeis.org/A256149 . Estos son los cuadrados cuya sigma es triangular:

1, 36, 441, 5625, 6084, 407044, 8444836, 17388900, 35070084, 40729924, 57790404, 80138304, 537822481, 588159504, 659821969, 918999225, 1820387556, 2179862721, 2599062361, 5110963081, 28816420516, 36144473689, 46082779561, 55145598561, 147225690000, 163405126756, 216560860321, 406452151296, 919585102500,...

Por ejemplo, el cuadrado 441=21^2 tiene como suma de divisores el triangular 741=441+147+63+49+21+9+7+3+1=38*39/2.

Hemos comprobado los primeros con Excel y después completado con este programa PARI

{for(i=1,10^6,n=i*i;if(ispolygonal(sigma(n), 3),print1(n,", ")))}

Un comentario de Alonso del Arte a propósito de la abundancia de múltiplos de 3 me dio la idea de tratar los distintos tipos de múltiplos como un perfil de frecuencias, como se obtiene, por ejemplo al estudiar la distribución de proteínas o de los genes. He aquí el resultado para los seis primeros primos:

Vemos que los más abundantes son los múltiplos de 2 y de 3, con sólo un caso para el 11. Interpreto que esta es una configuración típica de cuando el resultado es casual en gran parte. Cuanta menos teoría lo respalde, más abundarán los factores pequeños, que se prestan más a casualidades.
Una situación similar nos descubre la gráfica de los divisores mínimos de cada elemento:

En este caso llama la atención el valor de 41, 36144473689=41^2*4637^2, cuya suma de divisores es el triangular 272233*272234/2. Son hechos que aparecen porque todos los factores encajan, sin que nosotros podamos adivinarlo.

N número oblongo

Esta posibilidad tiene su interés, porque nos encontraremos con los dobles de los números perfectos. No estaba publicada y la hemos presentado en  https://oeis.org/A256150.

2, 12, 56, 342, 992, 16256, 17822, 169332, 628056, 1189190, 2720850, 11085570, 35599122, 67100672, 1147210770, 1317435912, 1707135806, 7800334080, 11208986256, 13366943840, 17109032402, 17179738112, 46343540900, 58413331032, 83717924940, 204574837700, 274877382656, 445968192672, 589130699852, 632523563282, 718650391556, 772888018740,…

Hemos comprobado los primeros con Excel y después ampliado con este programa PARI porque resultan números demasiado grandes para una hoja de cálculo.

{for (i=1,i=10^6,n=i*(i+1);if(ispolygonal(sigma(n), 3),print(n)))}

Es rápido por la forma de generar los oblongos n=i*(i+1) durante el proceso.

Entre ellos están los dobles de los perfectos, 12, 56, 992, 16256, 67100672,…que tienen la forma 2^k(2^k-1)  con el paréntesis un primo de Mersenne, y son oblongos. Para calcular su función sigma basta recordar que es una función multiplicativa y que al ser el paréntesis primo, su único divisor propio es 1:

Como ambos paréntesis representan primos entre sí, podemos multiplicar:

Este resultado es triangular, luego pertenecerán a esta sucesión todos los dobles de perfectos.
Les hemos hecho el análisis de los múltiplos de los primeros primos con este resultado:

Los valores están de acuerdo con un proceso fuertemente influido por el azar. El valor para el 2 es lógico, porque todos los oblongos son pares.