Algunas curiosidades sobre la antisigma

Se ha publicado algo, no mucho, sobre algunas propiedades y curiosidades acerca de la antisigma. Destacamos algunas y aportaremos otras.

Antisigmas cuadradas

La antisigma de un número puede ser un cuadrado. Esto ocurre en los siguientes números:

1, 2, 5, 6, 14, 149, 158, 384, 846, 5065, 8648, 181166, 196366, 947545, 5821349, 55867168, 491372910, 4273496001, 40534401950,… http://oeis.org/A076624

En el caso de números primos, como el 2 y el 5, deberemos resolver una ecuación diofántica de segundo grado, ya que (p+1)(p-2)/2=k². Donovan Johnson ha encontrado la recurrencia que genera otros casos en la página de OEIS enlazada. El siguiente primo sería 8946229758127349.

Nosotros también nos aproximaremos al tema mediante una ecuación de Pell. Transformamos la igualdad multiplicando todo por 4 y desarrollando:

4p²-4p-8=8k²

 Completamos un cuadrado y queda: (2p-1)²-8k²=9 Cambiamos de variables haciendo X=(2p-1)/3  Y=k/3, obteniendo la ecuación de Pell

X²-8Y²=1

Tenemos una herramienta para resolver esta ecuación, en la dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell

Aplicándola para el caso D=8 obtenemos varias soluciones para X e Y

Si a ellas añadimos la solución trivial X=1, Y=0 y deshacemos el cambio X=(2p-1)/3 mediante p=(3X+1)/2, obtendremos todas las soluciones para p. En la imagen que sigue hemos añadido una columna para saber si son primos o no los valores obtenidos, y vemos (los de color rojo) que coinciden con los valores primos de la sucesión:

Con una herramienta más potente podemos seguir con las iteraciones y llegar a la siguiente solución prima dada por Donovan Johnson e incluso sobrepasarla. No damos muchos detalles por no alargar.

La iteración de Pell en este caso es
(ver la teoría en http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/ecuacion-de-pell.html)

La aplicamos reiteradamente en PARI comenzando con X=1 Y=0, y tomamos nota de las soluciones de X que son primas. Obtendremos un listado en el que aparecerán los cuatro primos obtenidos aquí, más el propuesto por Donovan Johnson, 8946229758127349, y alguno más.

Programa en PARI

{x=1;y=0;for(n=1,60,m=(3*x+1)/2;if(isprime(m),print1(m,", "));p=3*x+8*y;q=x+3*y;x=p;y=q)}

Resultado obtenido:

2, 5, 149, 5821349, 8946229758127349, 13748537282247342677718149, 828287615476676026361062299923143963349, 32470531080787945457870876690417952137154149,

Aparecen tres nuevas y enormes soluciones. Este tipo de descubrimientos hacen que sigamos con estos temas a pesar del cansancio de los años.

Antisigmas triangulares

Sólo hemos encontrado el caso ya estudiado de las potencias de 2. No parece que haya ningún número que no sea potencia de 2 y tenga antisigma triangular.

Antisigmas primas

Estos son los números con antisigma prima:

3, 4, 10, 21, 34, 46, 58, 70, 85, 93, 118, 129, 130, 144, 178, 201, 226, 237, 262, 298, 310, 322, 324, 325, 333, 334, 346, 382, 406,... http://oeis.org/A200981

Sólo figura entre los primos el 3, porque si (p+1)(p-2)/2 ha de ser primo, si p es mayor que 3 aparecerían dos factores al menos en la antisigma.

Llama la atención la abundancia de semiprimos. Según la fórmula que vimos en la entrada anterior, deberá darse la casualidad de que si N=pq, se dé que pq(pq+1)/2-(p+1)(q+1) sea primo. Por ejemplo, 46=2*23 y su antisigma sería 46*47/2-3*24=1009, que es primo.

Antisigma y sigma coprimas

Terminamos por ahora con otra curiosidad: Números en los que sigma y antisigma son primos entre sí:

4, 9, 10, 16, 21, 22, 25, 34, 36, 46, 49, 57, 58, 64, 70, 81, 82, 85, 93, 94, 100, 106, 118, 121, 129, 130, 133, 142, 144,…

Al principio parece que pertenecerán a ella los cuadrados, pero a partir de 196 hay muchos que no cumplen esta propiedad: 441, 1521, 1764, 3249, 3600,...

En esta sucesión todos son compuestos, pues un primo p tiene como sigma p+1 y como antisigma (p+1)(p-2)/2, con lo que el factor (p+1)/2 divide a ambas para un primo mayor que 2. Y en el caso del 2, su sigma es 3 y su antisigma 0, que no tiene divisores