Factores primos de la parte libre de cuadrados (1)

Esta entrada es la primera de cuatro consecutivas que dedicaremos al mismo tema. Introduciremos las funciones P(n), Q(n) y G(n), que nos servirán como excusa para profundizar en el conteo y producto de los factores primos de la parte libre de un número y de su factorial. Un apartado interesante es el de sus ajustes, pues revisaremos técnicas de hoja de cálculo,


Factores de la parte libre y de la parte cuadrada

Ya vimos en otra entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre.html

que todos los números naturales poseen una parte cuadrada PC(N) y otra libre de cuadrados PL(N). La primera contiene como divisores todos los de N que son cuadrados. Si un factor primo está elevado a un exponente par pertenecerá a la parte cuadrada, pero si es impar, el par mayor contenido en él pasará a la parte cuadrada, y quedará en la parte libre el mismo factor elevado a la unidad.

Todos los factores primos de la parte libre de cuadrados están elevados a la unidad.

Puedes seguir la teoría en la citada entrada y también en nuestra publicación sobre funciones multiplicativas.

http://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf

También puede ser interesante contar los factores primos de la parte cuadrada, sin repetición.

Llamaremos  función Q(N) al resultado de contar esos primos. Así, por ejemplo, en el número 2520=2³×3²×5×7 tendríamos:

Parte cuadrada 2²×3²=36, Parte libre de cuadrados: 2×5×7=70, Q(2520)= 2, porque la parte cuadrada contiene dos primos distintos.

Los valores de esta función Q(N) los tienes en http://oeis.org/A056170

0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0,…

Puedes leer ahí algunos comentarios y desarrollos. El valor 0 aparece en los números libres de cuadrados. Verifícalo en la sucesión. Es sencillo de entender.

Presentarán valor 1 aquellos números cuya parte cuadrada posee un solo factor primo, como 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28,…( http://oeis.org/A190641). El primer valor Q(n)=2 ocurre en el 36, y, en general, esta función cuenta los factores no unitarios de N.

Aprenderás bastante si ejecutas y analizas este código PARI que engendra esos valores. Ahí te lo dejamos. Recuerda que OMEGA cuenta los factores primos sin repetirlos y que CORE es la parte libre.

{for(i=2,36,print1(omega(i/core(i)),", "))}

Podíamos efectuar idéntica operación con la parte libre, contar sus factores primos. Llamaremos al resultado P(N). Sus valores son:

0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2,…

y están contenidos en la sucesión OEIS http://oeis.org/A162642. En ella los valores 0 se corresponden con los cuadrados, porque en ellos la parte libre es 1 y no tiene factores primos.
Como en la anterior recomendamos la lectura del desarrollo de este enlace de OEIS y el que generes la sucesión mediante el código PARI

{for(i=1,36,print1(omega(core(i)),", "))}

Recuerda que core es la parte libre de cuadrados

Las funciones P(N) y Q(N) no actúan sobre conjuntos disjuntos de factores y pueden contar ambas el mismo factor, como ocurría con el 2 en el ejemplo de más arriba, el del 2520, que pertenecía a la parte cuadrada y también a la libre. Por tanto, la suma  P(N)+Q(N) es igual o mayor que OMEGA(N).

En la tabla siguiente podemos observar que en los números que contienen cubos, como 8, 24 y 27, presentan esa desigualdad P(N)+Q(N) > OMEGA(N).

Puedes reflexionar sobre qué números presentan esa desigualdad además de los cubos.

P y Q como funciones aditivas

En Teoría de Números una función f(n) se llama aditiva cuando se cumple

F(ab) = f(a) + f(b) siempre que a y b sean coprimos

En efecto, si a y b son coprimos, tanto su parte cuadrada como su parte libre poseerán factores primos diferentes en ambos números. Por tanto,  P y Q aportarán al producto factores que no pertenecerán a la otra función. En ese producto figurarán los que aporta cada uno sin coincidencias, por lo que sus cuentas se sumarán. Lo puedes verificar en la tabla de más arriba, por ejemplo:

P(2)=1, P(9)=0 y P(2*9)=P(18)=1=P(2)+P(9)

Prueba también con otros pares (coprimos) y con Q(n), y comprobarás la aditividad.

Al igual que las funciones multiplicativas, las aditivas se definen sólo para potencias de primos. En este caso la definición adecuada de Q(p^m) sería

Q(p^m)=0 si m=1, y Q(p^m)=1 en los demás casos. 

Lo puedes expresar también como p^sg(m-1), donde sg es la función signo, que vale 1 en los positivos y 0 en el cero.

Para la función P tendríamos la situación opuesta:

P(p^m)=1 si m es impar, y P(p^m)=0 si m es par. 

También se puede resumir como P(p^m)=(m mod 2)

La falta de simetría en las definiciones viene dada por el hecho de que si un primo está elevado a exponente 2 o mayor, se cuenta en Q y no en P, tanto si es par o impar.

Sobre estas funciones volveremos en las siguientes entradas, cuando estudiemos los factores primos de las parte libre de cuadrados en el caso del factorial.