Conjeturas con hoja de cálculo: Primos tipo n^2+1

Es uno de los problemas de Landau, y en el momento de redactar este texto sigue sin conocerse si es verdadera o no la siguiente conjetura:

Existen infinitos primos de la forma n²+1

Hardy y Littlewood supusieron que la conjetura era verdadera, y aproximaron el número de tales números primos menores que n, P (n), asintóticamente a

Con C una constante adecuada.

El listado de los primeros primos de este tipo lo puedes consultar en http://oeis.org/A002496

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401,…

Si la conjetura es cierta, esta sucesión deberá poseer infinitos términos.

¿Qué estudios podríamos abordar sobre este tema con una hoja de cálculo?

El primer objetivo razonable es el de comprobar que, dado un número cualquiera, existe un número primo del tipo n²+1 que es mayor que él.

 Usaremos la herramienta de hoja de cálculo conjeturas, alojada en

http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#global

Para encontrar ese primo mayor que el dado, reiteraremos el uso de la función PRIMPROX hasta que encontremos un número primo p tal que p-1 sea un cuadrado.

(A) Planteamiento manual

Basta estudiar este esquema brevemente para descubrir su funcionamiento:

El primer número primo de la lista es el PRIMPROX(N), en la imagen 1511. Los siguientes se obtienen como los próximos primos del de la fila superior. Esta lista se puede extender hacia abajo todo lo que se desee.

En la segunda columna hemos usado una fórmula del tipo

=SI(ESCUAD(C9-1);C9;""),

es decir, si C9 u otro primo de la lista cumple que al restarle la unidad se convierte en un cuadrado, lo escribimos, y , si no, dejamos la celda en blanco. Así descubrimos que el primer primo de este tipo es 1601. Si la conjetura es cierta, siempre llegaremos a un número de ese tipo.

Este método puede necesitar muchas filas hasta dar con el primo esperado. Por eso, se puede plantear como una función:

(B) Estudio mediante una función

Si suponemos cierta la conjetura, para cada número existirá un primo mayor que él con la forma n²+1. Entonces lo podemos plantear como una función. Su listado lo entenderás fácilmente:

Public Function proxn2mas1(n)
Dim p
p = primprox(n)
While Not escuad(p - 1)
p = primprox(p)
Wend
proxn2mas1 = p
End Function

De esta forma, la búsqueda manual que emprendimos en el caso anterior la podemos reducir al planteamiento de esta función:

Se comprende que para números grandes esta función tardará algo en calcularse. Lo hemos intentado con 10^7:

Tarda unos segundos, aunque no es un retraso desesperante. Hemos añadido la raíz cuadrada del primo menos uno, 3174.

Lista de primos de este tipo

Con esa función proxn2mas1 podemos reproducir toda la lista de OEIS. Basta escribir un 2, debajo de él proxn2mas1(2) y nos resultará un 5. Le aplicamos de nuevo proxn2mas1 y obtendremos el 17, y así seguimos hasta donde deseemos.

Si en lugar de comenzar con el 2 inicias con un número cualquiera, se escribirá la continuación de la lista, salvo quizás el primero, que no tiene que ser primo de ese tipo. Aquí tienes los siguientes a 10000:

Aproximación asintótica

Para comprobar la aproximación de Hardy y Littlewood necesitamos contar los primos de este tipo anteriores a N. Algo parecido a la función PRIME(N), pero quedándonos sólo con los primos de forma n²+1

Entenderás a la primera esta definición:

Public Function ppn2mas1(n)
Dim pp, i
' para valores de n superiores s 2

i = 2: pp = 0
While i <= n
pp = pp + 1
i = proxn2mas1(i)
Wend
ppn2mas1 = pp
End Function

Esta función cuenta los primos del tipo n²+1 inferiores o iguales a N. Como nos interesan valores grandes por cuestiones asintóticas, suponemos, para simplificar la programación, que N es mayor que 2. Observa esta tabla en la que se percibe que tratamos con una función escalonada, y que los cambios ocurren en 5 y 17, primos del tipo estudiado.

Para comprobar la aproximación asintótica y evaluar la constante C crearemos una tabla a partir del 10 en progresión geométrica hasta llegar a 10000000:

Hemos evaluado la constante C como cociente entre la función de distribución de los primos de tipo  n²+1 inferiores a N y la aproximación RAIZ(N)/LN(N). No usamos una herramienta adecuada, pero se ve que los valores de C presentan una cierta convergencia.

Variante de la conjetura

La más sencilla es la que busca primos de la forma  n²+a. Podemos crear una función similar a la que hemos usado, pero añadiendo un parámetro A

Public Function proxn2masa(n,a)
Dim p

p = primprox(n)
While Not escuad(p - a)
p = primprox(p)
Wend
proxn2masa = p
End Function

Con esta función se puede comprobar que,  dado cualquier valor de N (primo o no) y elegida una constante A, existe un número primo del tipo  N²+A superior a N

Observa un posible esquema de búsqueda:

En él elegimos N y A y se nos devuelve el primo adecuado y la raíz cuadrada de N-A