Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas edición Edición 4,12310, cuyo anfitrión es el blog Geometría dinámica.
A partir de un número natural se pueden definir muchas funciones de variable entera. Sólo algunas de ellas tienen la propiedad de que, en valores particulares, sus cifras son una subcadena (substring) de las propias cifras del número elegido expresado en base decimal.
Ya tocamos este tema, pero con múltiplos (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/04/los-multiplos-acunan.html). Ahora lo haremos con funciones.
Por ejemplo, si sumamos las cifras de un número en el sistema decimal el resultado constituye una función de ese número. Pues bien, en algunos casos, la expresión de la suma de sus cifras está incluida en el conjunto ordenado de las cifras del número. Es lo que ocurre con el 2711, cuya suma de cifras, 11, es una subcadena de 2711. Son muchos los números que tienen esa propiedad. Aquí tienes los primos que la cumplen:
2, 3, 5, 7, 109, 139, 149, 179, 199, 911, 919, 1009, 1063, 1109, 1163, 1181, 1327, 1381, 1409, 1427, 1481, 1609, 1627, 1663, 1709, 1811, 2099, 2137, 2399, 2699, 2711,…
http://oeis.org/A052019
y en esta tienes todos los casos, primos o compuestos http://oeis.org/A052018
Puedes comprobar cualquiera de ellos.
Otros presentan una propiedad similar con una función tan sofisticada como la indicatriz de Euler (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/07/la-herencia-de-euclides-5-la-funcion.html)
1, 1320, 1640, 1768, 1996, 2640, 3960, 13200, 16400, 19984, 19996, 26400, 39600, 132000, …
Los puedes consultar en http://oeis.org/A067206 y además leer las interesantes propiedades que tienen.
En estos números sus cifras son como la gran casa que acoge a una función concreta. Hay más casos:
15, 25, 125, 1537, 3977, 11371, 38117, 110317, 117197, 123679, 143323, 146137, 179297, 197513, 316619, 390913, 397139, 399797, 485357, 779917, 797191, 990919… contienen las cifras de su mayor divisor propio (http://oeis.org/A062238)
http://oeis.org/A118669 con el radical en los no libres de cuadrados.
Y existen más curiosidades: http://oeis.org/A198298, http://oeis.org/A018834, http://oeis.org/A073175
Propiedades presentadas por este blog
Aportamos algo más: buscaremos funciones que en ciertos números estén como “en casita” dentro de sus cifras.
Suma de partes alícuotas
Existen números compuestos (en los primos esto carece de interés) en los que la suma de sus partes alícuotas (divisores de N menores que N) tienen sus cifras incluidas como cadenas en las suyas propias. Son estos:
6, 28, 121, 437, 496, 611, 1331, 1397, 8128, 10201, 14641, 27019, 40301, 40991, 41347, 41917, 45743, 47873, 49901, 51101, 67997, 76459, 97637, 99101, 99553, 99779, 120353, 133307, 133961, 134179, 153091, 161051, 165101, 165743, 166171, 182525, 186503, 190987, 193121, 357101, 357307, 359573, 360397, 418153, 464353, 924611…
Los hemos publicado en https://oeis.org/A225417. Recuerda que sólo consideramos los compuestos.
Entre ellos están los números perfectos. Razona el porqué. Todos los demás es claro que son deficientes e impares. Como el razonamiento es un poco largo, lo dejamos para el final (ver Complemento abajo) y así, si no te apetece leerlo, no te estorba para ver los siguientes.
Un código PARI para obtenerlos puede ser
indigit(a,b)={ u=Vec(Str(a));v=Vec(Str(b));indi=0;la=#u;lb=#v;i=1;while(i<=la-lb+1&&indi==0,d=0;for(x=1,lb,if(v[x]==u[i+x-1],d+=1));indi=(d==lb) ;i+=1);return(indi)}
{ for(i=4,10^7,if(indigit(i,sigma(i,1)-i)&&isprime(i)==0,print(i)))}
Se presentan casos espectaculares, como 161051, cuya suma de partes alícuotas es 16105, y 182525 con suma 82525
Suma de factores primos con repetición
Hemos experimentado con nuestra querida función SOPFR (logaritmo entero: http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2009/11/logaritmo-entero-1.html, suma de factores primos con repetición). Como en el caso de los números primos la propiedad es trivial (¿por qué?), hemos buscado la propiedad sólo para compuestos y los primeros son estos:
4, 18, 144, 150, 168, 175, 198, 220, 230, 242, 246, 255, 322, 366, 444, 624, 1166, 1243, 1323, 1330, 1331, 1462, 1480, 1530, 1992, 2187, 2230, 2240, 2406, 2436, 2625, 2650, 2673, 2730, 2744, 2808, 2925, 3024, 3125, 3182, 3264, 3286, 3366, 3388, 3420, 3484, 3591…
Un caso notable es el de 1330 y 1331, ambos con el mismo valor de SOPFR. En efecto, 1330=2*5*7*19, con suma 33 y 1331=11*11*11 con igual suma.
Una subsucesión de este ejemplo la tienes en http://oeis.org/A143992
Suma de factores primos sin repetición
Con la función afín a la anterior SOPF (suma de los factores primos sin repetir) también existen números que poseen la propiedad
Son estos
25, 32, 54, 98, 125, 126, 128, 140, 196, 230, 243, 246, 255, 256, 315, 322, 348, 366, 392, 512, 520, 576, 625, 810, 828, 896, 1024, 1029, 1060, 1080, 1152, 1166…
Es fácil comprender que tienen menos interés porque en la potencias de primos resulta más fácil su cumplimiento. Los hemos incorporado a OEIS: https://oeis.org/A225418
Se obtienen con el código PARI
indigit(a,b)={ u=Vec(Str(a));v=Vec(Str(b));indi=0;la=#u;lb=#v;i=1;while(i<=la-lb+1&&indi==0,d=0;for(x=1,lb,if(v[x]==u[i+x-1],d+=1));indi=(d==lb) ;i+=1);return(indi)}
sopf(n)= { local(f, s=0); f=factor(n); for(i=1, matsize(f)[1], s+=f[i, 1]); return(s) }
{ for(i=2,10^5,if(indigit(i,sopf(i))&&isprime(i)==0,print(i)))}
Destaca el caso de 1243, cuyos divisores primos son 111 y 13, y su suma sopf(1243)=111+13=124, que sólo se diferencia del número en un 3.
Función TAU
La función TAU cuenta el número de divisores de un número. También ella puede ser una subcadena. Lo es en muchos ejemplos, por lo que es menos interesante
Aquí tienes un listado de los primeros:
2, 14, 23, 29, 34, 46, 63, 68, 74, 76, 78, 88, 94, 116, 126, 127, 128, 134, 138, 141, 142, 143, 145, 146, 164, 168, 180, 182, 184, 186, 189, 194, 196, 211, 214, 216, 223, 227, 229, 233, 236, 238, 239, 241, 247, 248, 249, 251, 254, 257, 258, 261, 263, 268, 269, 271, 274, 277, 281, 282
PARI para obtenerlos:
indigit(a,b)={ u=Vec(Str(a));v=Vec(Str(b));indi=0;la=#u;lb=#v;i=1;while(i<=la-lb+1&&indi==0,d=0;for(x=1,lb,if(v[x]==u[i+x-1],d+=1));indi=(d==lb) ;i+=1);return(indi)}
{ for(i=1,1000,if(indigit(i,sigma(i,0)),print(i)))}
Otros casos de menos interés
Los ejemplos que presentaremos a continuación como simples curiosidades provienen de listados mayores, en los que abundan los casos triviales. Con eso se aumentan excesivamente los números y se llega a hacer aburrido. Hemos preferido presentar los destacados.
Con divisores de cierto tipo
En casi todos los casos aparecen demasiadas soluciones, con muchos casos triviales que le quitan interés. Destacamos algunos:
* 11371 contiene a su mayor divisor impar propio, 137
* Si a 22742 le suprimes las cifras extremas se convierte en su mayor divisor par propio, 274.
* Igual le ocurre a 31218 con su mayor divisor cuadrado 121. También 36250 se convertiría en 625.
* Si a 11300 le suprimos las cifras extremas se convierte en su suma de divisores cuadrados: 130=100+25+4+1
* 5145 contiene a la suma de sus divisores triangulares: 145=105+21+15+3+1
* Por último, 1584 contiene a la suma de sus divisores que pertenecen a la sucesión de Fibonacci: 158=144+8+3+2+1
Esto hay que tomarlo como un pasatiempo sin mayor interés.
Otros ejemplos:
La parte cuadrada de un número o la parte libre (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre.html)
Con la parte cuadrada tienes dos ejemplos sencillos pero no triviales: 9225 contiene a su parte cuadrada 225, porque 9225=15^2*41, y 10625=5^4*17 contiene a su parte cuadrada 625. Intenta otros ejemplos.
Con la parte libre podemos destacar como menos triviales 2835, que contiene a su parte libre 35 (comprueba que es así) o el número 2772=2^2-3^2*7*11 que contiene a 77=7*11
Bigomega cuenta los divisores primos con repetición. Con bigomega destacamos estos:
Se ha adjuntado la factorización (cada primo con su exponente) para que los compruebes.
Adjuntamos ahora la demostración anunciada:
Complemento
Si un número aloja a una función suya como substring, la relación entre sus valores está limitada por unas desigualdades fáciles de obtener. Si ambos números son iguales, en el caso de las partes alícuotas resultaría un número perfecto. Dejamos ese caso.
Si los números no son iguales, sino que la relación de substring es estricta, las cifras alojadas pueden ser las primeras, como cuando 2187 aloja a su función SOPFR 21, estar en el interior rodeadas por otras cifras, como 1331 con sopfr(1331)=33, o bien al final, como ocurre con la función phi: phi(1768)=768.
Veamos los tres casos, en los que llamamos A al número total y B a las cifras alojadas. Su cociente A/B es el que vamos a acotar.
(a) Al principio
Si las cifras están al principio, A=B*10^k+C, siendo C un número de k cifras. El cociente pedido sería: A/B=10^k+C/b, luego A/B>=10^k. En el más desfavorable de los casos A sería más de diez veces mayor que B
(b) En el interior
Entonces A=D*10^m+B*10^n+C, siendo C un número de n cifras. Así quedaría
A/B=D*10^m/B+10^n+C/B>=10^n
También, en el caso más desfavorable, A/B>=10
(c) Al final
En ese caso A=C*10^h+B, con B<C*10^h, luego A/B ha de ser mayor que 2. Por ejemplo, el caso más desfavorable con tres cifras sería 1999/999=2,001001
¿Qué sacamos de todo esto? Pues que en el caso de las partes alícuotas el número ha de ser deficiente (si no es perfecto), pues su abundancia es B/A<1/2. Ahora bien, no puede ser par, porque en estos casos el mayor divisor propio M de N es N/2, con lo que tendríamos que la suma de partes alicuotas sería mayor que N/2 y por tanto la abundancia sería mayor que 1/2 en contra de lo demostrado mediante cifras:
Los elementos de la sucesión, o son perfectos o son deficientes impares.
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