viernes, 4 de diciembre de 2009

Fracciones continuas (3) - Ecuaciones diofánticas

Una aplicación importante de las fracciones continuas y sus reducidas es la de resolver ecuaciones diofánticas lineales del tipo Ax+By=C, en las que C es múltiplo del MCD de A y B (que son las que poseen solución). Quiere esto decir que A,B y C se pueden simplificar hasta conseguir que MCD(A,B)=1. En lo que sigue supondremos que esto se cumple.

Efectivamente, en una entrada anterior se vio que la diferencia entre dos reducidas consecutivas equivalía a una fracción de numerador la unidad y de denominador el producto de sus denominadores. Esta propiedad también se cumple entre la última reducida y la fracción dada.

Vemos cómo se aprovecha esta propiedad para resolver la ecuación.

Sea, por ejemplo, la ecuación 244X+108Y=112.

Simplificamos: 61X+27Y=28, con MCD(61,27)=1

Buscamos las reducidas de la fracción 61/27 y elegimos la última 9/4



Y se cumplirá, según la propiedad citada, que 61*4-27*9=1, luego 4 y -9 serán las soluciones de 61X+27Y=1. Bastará multiplicar por el término independiente 28 para obtener una solución: X=4*28 = 112 e Y=-9*28 = -252

Las demás soluciones se obtienen mediante las paramétricas.

X=112-27t
Y=-252+61t

Si se desean soluciones positivas deberemos ajustar el parámetro t

3 comentarios:

Anónimo dijo...

Vamos a demostrar que, aunque utilicemos caminos distintos, llegaremos a la misma solución.
Con una simple ojeada podemos constatar que todos los coeficientes se puede divisir por 4 (244,108,112)/4=61,27,28, lo que nos permite resolver la ecuación como 61x+27y=28.
Utilizamos el Algoritmo de Euclides para relacionar 61 con 27.
61=27*2+7
27=7*3+6
7=6*1+1
6=1*6+0
Observar que 2,3,1,6 es lo que ya ha calculado Antonio.
Calculamos ahora los convergentes o reducidas:
2/1; 7/3; 9/4; 61/27
Lo mismo que Antonio pero, calculamos el último, que coincide con los dos números en juego. Esto nos permite comprobar que
mcd(61,27)=1=61(4)+27(9), o sea,
61*4-27*9=1
Resolvemos la ecuacion: 61x+27y=28
Despejamos X en función de Y:
61x=28+27t
Sacamos restos de 61 y 28 respecto a 27,
7x=1+27t
Multiplicamos la ecuación por 4.
4(7x=1)+27t
Sacamos restos respecto a 27.
x=4+27t VALOR DE X
Por sustitución despejamos Y:
Y=(28-61(4+27t)/61=-8-61t
y=-8-61t VALOR DE Y
La solución a la ecuación es:
244(4+27t)+108-61t)=112
Tendrán infinidad de soluciones, tantas como valores les den a t, que es un entero cualquiera.
Dos caminos para un mismo destino.
Rafael de Barcelona

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias, Rafael. Tus comentarios están enriqueciendo este tema.

Saludos

Anónimo dijo...

Vamos a dar otro golpe tuerca al problema que nos propone Antonio y convertirlo en un sistema multivariable.
Partiendo del valor anterior de X=4+27t, sustituyamoslo por la ecuación X^2+27Y=4
Despejamos X en función de Y:
x^2=4+27t
Observar que x^2 y 4=2^2, por tanto
X=2-27t PRIMERA raíz de la cuadrática.
De acuerdo con Gauss, si una ecuación cuadrática mónica admite una raíz, tambien admitirá otra que será inversa de ésta. La inversa de 2 es el complemento hasta 27, o sea 25, luego
X=25-27t es la SEGUNDA raíz de la cuadrática.
En una ecuación multivariable, si una de ellas admite raíces primitivas,también las admitirán las otras, luego:
Por sustitución despejamos Y:
(2-27t)^2+27y=4, entonces
Y1=(4-(2-27t)^2)/27=0+4t27t^2
Y2=(4-(25-27t)^2)/27=-23+50t-27t^2
La solución cuadrática son dos raíces por cada variable, (es el grado de la ecuación) lo que nos crea un sistema multivariable y dimensional por cuanto tendrá tantas soluciones como valores se le asignen a t, como parámetro multiplicador.
Para los os gustan los números, seguir el consejo del gran matemático alemán Félix Klein (1849-1925), las matemáticas se deben mirar desde un punto de vista superior pero tratarlas desde un punto de vista elemental.
Rafael de Barcelona