Algunos conceptos matemáticos, que se basaron inicialmente en los números naturales, fueron después adaptados a otros tipos de números. Esto ocurrió con los números poligonales, que, al superar su carácter inicial geométrico, se generalizaron a los números enteros, pues ya no era necesario que su orden fuera positivo, al no representar una longitud. Esta decisión les abrió a nuevas posibilidades, por lo que han perdurado.
Todo número poligonal viene dado por esta fórmula muy
popular:
Si n es positivo, resultará un número poligonal clásico, que siempre será entero, ya que en el numerador se restan dos números de la misma paridad. Si generalizamos a un número negativo, sea n=-m, al sustituir en la fórmula obtendremos
Esta expresión da lugar a una
nueva clase de poligonales a los que llamaremos segundos poligonales del
mismo orden. Con el añadido del cero, los números poligonales generalizados
serán la unión de los clásicos con estos otros de segunda naturaleza.
Si imaginamos m=n, ocurrirá que PSn=Pn+(k-4)n
Comparemos, por ejemplo, las dos clases de hexagonales:
Los clásicos: 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190,
231, de fórmula n(2n-1)
Los segundos: 0, 3, 10, 21, 36, 55, 78, 105, 136, 171, 210,
de fórmula n(2n+1)
la diferencia entre sus elementos del mismo orden (k-4)n=2n
Así, 3-1=2*1, 10-6=2*2, 21-15=2*3, …
Lo interesante es que ambos conjuntos se pueden unir
intercalando sus elementos. Para ello, habrá que demostrar que PSn<Pn+1
Planteamos la diferencia:
En el caso del hexágono formarían, intercalados, los
números hexagonales generalizados:
0, 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120,
136,153,
Nos llevamos la sorpresa de que son los números
triangulares clásicos. Ya volveremos sobre ellos.
Casos particulares
Los triangulares se convierten en otros triangulares al
cambiar de índice positivo a negativo, y los cuadrados permanecen iguales. Los
casos interesantes comienzan con los pentagonales. Veremos los de este tipo y
algunos más:
Números pentagonales generalizados
Los pentagonales clásicos, 1, 5, 12, 22, 35, 51, … siguen
la fórmula
Es el caso particular de la fórmula general para k=5
Están publicados en https://oeis.org/A000326 y
estudiados en mi publicación “Números poligonales” https://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf
Según lo tratado
anteriormente, los segundos pentagonales tendrán como fórmula
0, 2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, 100, 126,
155, 187, …
Su diferencia con los clásicos del mismo
orden es n: 2-1=1, 7-5=2, 15-12=3, …
Están publicados en https://oeis.org/A005449
La unión de las dos sucesiones
formará esta otra, la de pentagonales generalizados:
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26,
35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247,
260, … (https://oeis.org/A001318)
Segundos pentagonales
Estudiamos algunos detalles de
los segundos pentagonales:
Interpretación combinatoria
En la página de OEIS
correspondiente se afirma que representan las cartas necesarias para construir
un castillo de naipes. La clave está en el hecho de que PS(n+1)=PS(n)+2n+3:
Las cartas de perfil azul corresponden a PS(3)=15 y las rojas 3*3+2=11, y al sumar obtenemos PS(4)=26
Recurrencias
Además de la ya tratada de 3n+2, existen varias
publicadas en OEIS, pero no la que califico de “muy útil” (https://hojaynumeros.blogspot.com/2026/05/unas-recurrencias-muy-utiles.html) también nos vale, y no recurre al valor de n:
xn=
3xn-1-3xn-2+xn-3
En la entrada enlazada se
explica su fundamento. Aquí basta con una comprobación en forma de tabla:
Números pentagonales generalizados
Al ser la unión de dos sucesiones, podemos unificar sus
fórmulas mediante una función. En ella la variable m es útil para
alternar los signos más y menos en el numerador.
pg(n)=my(m=truncate((n+1)/2));(3*m^2+(-1)^n*m)/2
for(k=1,20,print1(pg(k),", "))
Resulta:
1, 2,
5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, …
Era lo
que se pretendía.
En su
página de OEIS se incluyen muchas alternativas como fórmulas para esta
sucesión.
Nuestra
recurrencia “útil”
Al ser
ambas sucesiones componentes generadas por la misma fórmula de recurrencia,
bastará definir como elementos iniciales 0, 0, 1, 2, 5, 7 y aplicar
xn=
3xn-2-3xn-4+xn-6
Así: 3*5-3*1+0=12, 3*7-3*2+0=15, 3*12-3*5+1=22, …
Propiedad de Conway
La tercera parte de un triangular es un pentagonal
generalizado si no es del tipo 3n+1
En esta tabla figuran los primeros triangulares y su
tercera parte si es válida la para la propiedad:
0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120 136 153 ...
0 1 2 5 7 12
15 22 26 35 40 51 ...
T(3n)/3=3n*(3n+1)/6=(9n2+3n)/6=(3n2+n)/2
T(3n-1)/3=(3n-1)(3n)/6=(3n2-n)/2
En ambos casos resulta un pentagonal generalizado.
24(3n2+2)/2+1=36n2+24n+1=(6n+1)2
E igual con los pentagonales clásicos
Números heptagonales generalizados
Siguiendo los mismos razonamientos que con los
pentagonales, esta otra sucesión será la unión de los heptagonales clásicos, de
fórmula HP(n)=n(5n-3)/2 y los “segundos”, provenientes de órdenes negativos
HPS(n)=n(5n+3)/2.
La sucesión resultante es, en sus primeros términos:
0, 1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112, 133, 148, 172, 189, 216, 235,
265, 286, 319, 342, 378, 403, 442, 469, 511, 540, 585, …
Está publicada en https://oeis.org/A085787, y los segundos heptagonales en https://oeis.org/A147875
Propiedades
A continuación, se verán
algunas propiedades de ambas sucesiones:
Los segundos heptagonales
son suma de una progresión geométrica, la b(n)=5*n+4, con primer término b(0)=4.
En efecto, la suma será S(n)=(4+5*(n-1)+4)*n/2=n(5n-3)/2
Como todos los números de
estos tipos siguen la recurrencia
xn=
3xn-1-3xn-2+xn-3
27=3*13-3*4+0, 46=3*27-3*13+4, …
Esta recurrencia se extiende a toda la sucesión
generalizada de igual forma que en el caso de pentagonales.
De forma similar a los pentagonales, se cumple que 40a(n)+9
es un cuadrado:
40*n*(5n±3)/2+9=100n2±60n+9=(10n±3)2
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