Números primos de Pierpont y sus relacionados

Hay ya bastantes publicaciones e ideas sobre los primos de Pierpont. A pesar de ello, aún se puede volver a estudiarlos desde la forma de trabajar en este blog y las herramientas disponibles. Además, son interesantes los números directamente relacionados con ellos, como los de Mersenne, Fermat o Proth 

Definición y primeras consecuencias

Un número primo de Pierpont es un número primo de la forma 2^u3^v+1, donde u y v han de ser enteros no negativos. Esto nos lleva a consideraciones muy sencillas:

El exponente u no puede ser cero, pues la expresión sería par y, por tanto, no representaría a un número primo. De hecho, si v=0, deberá ser potencia de 2. La razón está en que una suma de potencias impares es divisible entre la suma de sus bases. Por ejemplo, (X⁵+y⁵)/(x+y)=x⁴-x³y+x²y²-xy³+y⁴. Si el exponente poseyera un factor primo distinto de 2, podríamos descomponer la potencia como “potencia de potencia”, y aislar el número impar. Por ejemplo 2¹² se podría expresar como 2² y luego elevado a 3, con lo que construiríamos una suma de potencias impares, y no podría ser primo. Todo este razonamiento nos lleva a que si v=0, los primos de Pierpoint serían también de Fermat. Más adelante regresaremos a esta idea.

El exponente v, si no es nulo, como también lo es u, convertiría al primo de Pierpoint en uno del tipo 6k+1, y posible elemento mayor de un par de primos gemelos. Otra vía para desarrollar más adelante.

Obtención de estos primos

Con las herramientas que se suelen usar en este blog es relativamente fácil encontrar los primeros primos de Pierpont. La primera idea es construir una tabla de doble entrada, una para 2^u y otra para 3^v, y combinarlas:

Por motivos como este sigo usando las hojas de cálculo, porque toda la tabla se genera con la fórmula siguiente y sus extensiones a derecha y abajo:

=SI(ESPRIMO(2^D$3*3^$C4+1);2^D$3*3^$C4+1;"")

Esta concurrencia entre dos potencias también se puede lograr con mi herramienta CARTESIUS

(https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Su gestión no es fácil a veces, por lo que no acudo mucho a ella en lo que publico, pero en este caso demuestra su versatilidad. Basta darle las condiciones siguientes:

XTOTAL=2
XT=0..10
VALOR(2^X1*3^X2+1):PRIMO

Nota: Es posible que cuando se publique esta entrada aún no se haya implementado la condición VALOR, que es una mejora del año 2026.

Vienen a significar que combinaremos dos variables de 0 a 10, y que exigiremos que la expresión del paréntesis abajo (definición de primo de Pierpoint) debe ser un número primo. Su respuesta es (solo los primeros casos):

Aparecen los primos pedidos, pero desordenados. Por eso es preferible el procedimiento que elegiré en el siguiente apartado.

Caracterización de estos números

La segunda idea que se nos puede ocurrir es la de anidar dos bucles, uno con potencias de 2 y otro con las de 3, y filtrar los resultados con la condición ESPRIMO. Tendría el inconveniente de resultar un proceso largo y poco eficiente si deseamos manejar rangos de números grandes. Es preferible pensar en una función que nos determine si un número concreto es o no primo de Pierpont.

Para abordar esta función es bueno recordar el concepto de valuación de un número respecto a otro (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2012/12/volvemos-visitar-al-mayor-divisor-impar.html), y es el número de veces consecutivas que un número puede ser dividido por otro. Por ejemplo, VALUACIÓN(162,3)=4, porque 162 es divisible entre 3⁴.

En este caso, si P es de Pierpont, la valuación de P-1 para el 2 es el exponente u y la del 3 el v. Así, el criterio para saber si un número primo es de este tipo se podría expresar como

P-1=2^valuacion(P,2)*3^valuación(P,3)

En el lenguaje PARI ya viene implementada como valuation, y el criterio total sería:

p-1==(2^valuation(p-1,2))*(3^valuation(p-1,3))&&isprime(p)

Lo escribimos como un bucle con inicio y final y así logramos identificar los primos deseados dentro de un rango (inicio, final)

inicio=1;final=10000;for(p=inicio,final,if(p-1==(2^valuation(p-1,2))*(3^valuation(p-1,3))&&isprime(p),print1 (i,", ")))

Con él se consiguen fácilmente los primeros primos de Pierpont:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, …

Están publicados en https://oeis.org/A005109, y en esa página se pueden consultar variantes de esta idea.

Se conjetura que existen infinitos números de este tipo, pero no se ha demostrado.

Búsqueda con hoja de cálculo

En una hoja se pueden desarrollar varios aspectos, y quedan muy claros los detalles. Poseo una sencilla versión en VBASIC de la valuación:

Function valuacion(n, x) 'halla el exponente de la máxima potencia de x que divide a n

Dim s, v

s = n

v = 0

While esmultiplo(s, x): s = s / x: v = v + 1: Wend

valuacion = v

End Function

La función ESMULTIPLO se puede sustituir por s/x=s\x, que es equivalente

Con ella se puede construir una tabla más extensa de resultados, introduciendo líneas similares a las siguientes en un buscador:

a = valuacion(i - 1, 2)

b = valuacion(i - 1, 3)

 

If i - 1 = potencia(2, a) * potencia(3, b) And esprimo(i) Then

 

Añadiendo detalles, el resultado sería:

Algunos del tipo 6k+1 son primos gemelos con sus anteriores, como 5, 7, 13 o 19.

La ventaja de este método es que podemos ir a un rango más alto. Estos son los primeros primos de Pierpont a partir de 1000:

La aparición de los números de Fermat da lugar a un curioso paralelismo, que no desarrollaré porque ya ha sido bien explicado en otros lugares. Los de Fermat influyen en la construcción de un polígono con regla y compás, mientras los de Pierpoint lo hacen si se usan dobleces de un papel. En Wikipedia se explica de forma clara y breve.

(https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Pierpont)

Como anuncié en los primeros párrafos, sólo desarrollaré aspectos en los que sean útiles mis herramientas usuales. El resto de cuestiones es muy accesible con una buena búsqueda.

Números afines a los primos de Pierpoint

Ya se ha visto su relación con los números de Fermat. También tienen una definición parecida los siguientes:

Primos de Proth

Tienen como definición el ser números primos de la forma k2ⁿ+1, con k impar y menor que 2ⁿ. Se deduce que algunos de este tipo también serán de Pierpoint, como 3¹*2²+1=13. Cambiando las instrucciones en un buscador de hoja de cálculo tendríamos:

a = valuacion(i - 1, 2)

c = potencia(2, a)

b = (i - 1) / c

 

If b = Int(b + 0.00001) And b < c And i = b * c + 1 And esprimo(i) Then

Resultado:

Serán también primos de Pierpoint aquellos en los que K sea potencia de 3 (incluido el 1).

Están publicados en https://oeis.org/A080076

Es muy fácil encontrar sus propiedades.

 Primos de Pierpoint de segunda clase

Podemos cambiar la definición de los primos de Pierpoint caracterizándolos como 2^u3^v − 1.

La caracterización de estos números pasaría por usar la valuación respecto a 2 o a 3 del número p+1 en lugar de p-1.

Como ya están publicados en https://oeis.org/A005105, es trabajo inútil volver a repetir cálculos ya conocidos. Los primeros son:

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, …

En este listado, los elementos con v distinto de cero, serán del tipo 6k-1. Si v=0, no es aquí necesario que u sea potencia de 2, y así , podemos encontrar entre ellos primos de Mersenne, del tipo 2^k-1 con k primo. En el listado podemos identificar 3, 7, 31 y 127.

Se podría pensar aquí también en los números del tipo 6ⁿ-1, pero son todos múltiplos de 5, lo que nos lleva a que u ha de ser distinto de v.