Números que son promedio de dos cuadrados

Hace años que vengo publicando estudios y búsquedas en las que es necesario descomponer un número en dos cuadrados. Desde Fermat conocemos la condición de que un número primo deba ser para ello del tipo 4k+1, ya que los contrarios, de forma 4k+3 no admiten esta descomposición.

Gauss estudió el tema y aportó una fórmula para conocer en cuántas sumas de cuadrados se descompondría un número concreto, y que resultó depender del número de factores primos de un tipo y otro que figuraran en la descomposición.

Puedes consultar esa fórmula, por ejemplo, en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/03/potencias-equidistantes-de-cuadrados.html.

En ella el factor 2 en un número no influye en el número de descomposiciones esperadas, sino de los tipos 4k+1 y 4k+3 presentes.

Lo que explico en el párrafo anterior nos hace ver que si N se descompone en dos cuadrados, también lo hará 2N, ya que la presencia del 2 no influye en el resultado. Por ejemplo:

850=2*5²*17=3²+29²=11²+27²=15²+25²

Si lo multiplicamos por 2, deberían aparecer también tres sumas de cuadrados, y así es:

1700=2²*5²*17=10²+40²=16²+38²=26²+32²

Si ahora divido las igualdades correspondientes a 2N entre 2, resultarán las formas de expresar N en promedios de dos cuadrados:

850=(10²+40²)/2=(16²+38²)/2=(26²+32²)/2

En realidad, estamos ante una situación algebraica, ya que si N=a²+b², se tendrá que (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)=2N

En efecto: 13+25=40, 25-15=10, que son las primeras soluciones para el promedio, 27-11=16 y 27+11=38, las segundas, y, por último, 29-3=26, 29+3=32.

Estos razonamientos sugieren que basta descomponer 2N en dos cuadrados para que aparezca una solución de promedios para N y que el número de soluciones será el mismo. No es difícil encontrar una función que realice este trabajo. Otra orientación es la de buscar todos los cuadrados C menores que N y ver si N+C es cuadrado. No se tienen en cuenta los promedios en los que los dos sumandos son iguales, lo que se considera solución trivial.

Como aquí se trata de comprender y practicar, copio las dos posibilidades:

Buscar si N+C es cuadrado:

Function entredos$(n)

Dim i, r, a, b, m

Dim s$

 

s = "" 'La solución se expresa como texto

m = 0 ‘Contador de soluciones

r = Int(Sqr(n)) 'Primer valor a ensayar

i = r - 1

While i > 0  'Descendemos valores de cuadrados

b = n - i ^ 2 'Diferencia entre potencia y cuadrado

a = n + b 'A la potencia le sumamos la diferencia

If escuad(a) Then m = m + 1: b = Sqr(a): s = s + " = (" + ajusta(i) + "^2+" + ajusta(b) + "^2)/2" ‘Si es cuadrado, hay una solución nueva

i = i - 1

Wend

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " : " + s

entredos = s 'Si no hay solución, la respuesta es “NO”

End Function

 

Descomponer 2N en suma de dos cuadrados

Public Function entredos2(n) As String

Dim x, p, m, c

Dim s$

 

s$ = "": m = 0’ Contenedor y contador

For x = 1 To Sqr(2 * n - 1)

c = x * x ‘Primer cuadrado para 2N

p = 2 * n – c ‘Posible segundo cuadrado

If escuad(p) And p <= c Then

s$ = s$ + "=(" + ajusta$(x) + "^2+" + ajusta$(Sqr(p)) + "^2)/2": m = m + 1 ‘Hay solución y avanza el contador

End If

Next x

If s$ = "" Then s$ = "NO" Else s$ = ajusta(m) + "::" + s$

entredos2 = s$ ‘Presentación de resultados

End Function

 

En la siguiente tabla se puede observar la concordancia entre los dos métodos, en un rango elegido al azar:

Evidentemente, faltan aquellos números que no admiten descomposición, por contener factores primos del tipo 4k+3 elevado a exponente impar. Son ejemplos 135=3³*5, 151, primo tipo 4k+3, o 144=2⁴*3², en el que, al ser cuadrado presentaría la solución trivial

 (12²+12²)/2.

 Los primeros números que admiten ser iguales a un promedio de cuadrados son:

5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 170, 173, 178, 180, 181, 185, 193, 194, 197, 200, …

Con otra definición equivalente están publicados en https://oeis.org/A004431, y en un comentario aparece el promedio de dos cuadrados. Son interesantes los comentarios y alguna programación en PARI.

 

Diferencias prefijadas

Las diferencias entre las bases de los cuadrados que sean solución, han de ser pares, para que su suma sea par, ya que su resultado es 2N.

Podemos seleccionar entre las soluciones aquellas que posean una diferencia determinada, a la que llamaremos 2D por ser par. Conociendo ese dato, es fácil dar un criterio para saber si N admite ser promedio de dos cuadrados cuyas bases se diferencien en 2D. Comenzaríamos así:

Sería k²+(k+2d)²=2N

2k²+4dk+4d²=2N

k²+2dk+2d²=N, es decir, la ecuación de segundo grado en k:  k²+2dk+(2d²-N)=0

En la página enlazada se sirven de esta fórmula para definir estos números.

Para que exista solución entera, el discriminante d²-2d²+N=N-d² deberá ser cuadrado. Ese sería el criterio.

Un número N admitirá ser promedio de dos cuadrados diferenciados en 2d si N-d² es cuadrado

Por ejemplo, en la tabla se observa que 130 admite las diferencias 6 y 14, y esto es porque 130-3²=121, cuadrado de 11, y 130-7²=81, cuadrado de 9. Implemento en un buscador, con un rango similar y obtengo: 113, 130, 149, 170, 193, …Los números 130 y 149 son los que presentan diferencia 14 en la tabla.

 

La expresión N=k²+2dk+2d² nos permite encontrar las mismas soluciones para números que sean promedio de dos cuadrados. Basta plantear un doble bucle con k y d. Esta es la versión en PARI:

for(n=1,10,for(m=1,10,p=n^2+2*m*n+2*m^2;print1(p,", ")))

Si la ejecuto en la página oficial de PARI/GP obtengo la solución

5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 10, 20, 34, 52, 74, 100, 130, 164, 202, 244, 17, 29, 45, 65, 89, 117, 149, 185, 225, 269, 26, 40, 58, 80, 106, 136, 170, 208, 250, 296, 37, 53, 73, 97, 125, 157, 193, 233, 277, 325, 50, 68, 90, 116, 146, 180, 218, 260, 306, 356, 65, 85, 109, 137, 169, 205, 245, 289, 337, 389, 82, 104, 130, 160, 194, 232, 274, 320, 370, 424, 101, 125, 153, 185, 221, 261, 305, 353, 405, 461, 122, 148, 178, 212, 250, 292, 338, 388, 442, 500, …

Como era de esperar, aparecen las soluciones desordenadas. Si las ordeno en una hoja de cálculo, coinciden con las obtenidas por otros procedimientos.

5, 10, 13, 17, 20, 25, 26, 29, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 65, 68, 73, 74, 80, 82, 85, 85, 89, 90, 97, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 125, 130, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, …

Se observan dos hechos, como son la existencia de repetidos, (65 y 85), y también la falta de alguno en el listado, simplemente porque “tarda más en aparecer”. Por eso, prefiero siempre algoritmos que devuelvan las soluciones ordenadas.