Por una unidad, no son de Fibonacci (1)

La sucesión de Fibonacci, definida como a(1) = 1, a(2) = 1, a(n) = a(n-1) + a(n-2), da lugar a otras muchas sucesiones que mantienen básicamente la misma fórmula de recurrencia o bien cambian las condiciones iniciales. Hoy nos vamos a dedicar a estudiar aquellas sucesiones definidas mediante a(n)=a(n-1) + a(n-2) ± 1. Respecto a las condiciones iniciales, elegiré aquellas que estén publicadas o alguna otra que sea afín, porque el objetivo no es descubrir ada nnuevo, sino practicar con las herramientas que suelo usar y explicar lo que se descubra.

Una unidad más

En primer lugar, estudiaré a(n) = a(n-1) + a(n-2) + 1, con a(1) = 0 y a(2) = 2. (Ver https://oeis.org/A001610)

Con una hoja de cálculo se construyen perfectamente las sucesiones definidas por recurrencia. Escribimos a(1), en la celda de abajo a(2), y en las siguientes la fórmula de recurrencia. No hay más dificultad. Es conveniente situar a su izquierda una columna de índices. Por ejemplo, en este caso obtendríamos:

Coinciden los términos con los publicados en https://oeis.org/A001610

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, …

Recurrencia lineal no homogénea

Si deseamos profundizar algo más sobre esta sucesión es conveniente tratarla como recurrencia no homogénea. En estos casos se suele resolver la homogénea y después tratar aparte el sumando no lineal, que aquí sería el 1.

La parte homogénea se resuelve mediante la ecuación característica. La base teórica la tienes en cualquier texto o página web, como

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrencia

Poseo una herramienta descargable para resolver estas ecuaciones con las limitaciones propias de una hoja de cálculo

 (https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Le suministro los datos de la parte homogénea del problema, que aquí sería la de números de Fibonacci con las condiciones iniciales 0 y 2.

Pulso el botón Resolver para ver la ecuación característica:

La hoja de cálculo no es simbólica, por lo que hay que saber interpretar estos coeficientes en función del número áureo o de la raíz cuadrada de 5:

Aparecen dos soluciones reales, que dan lugar a la expresión de más abajo:

Sería:

Esta fórmula daría lugar a la parte homogénea, que nos da la sucesión que presenta la herramienta usada:

La parte no homogénea es un 1, y según la teoría, habría que someterla a las mismas condiciones que la homogénea, y después encontrar el coeficiente adecuado.

En nuestro caso esta es la situación:

Valores de la homogénea:   0  2  2  4  6  10  16  26  42

Valores encontrados:           0  2  3  6 10  17  28  46 75

Diferencias:                          0  0  1  2  4  7  12  20 33

Las diferencias equivalen a los números de Fibonacci clásicos menos una unidad, y las soluciones de la homogénea son el doble de los mismos de Fibonacci con un índice una unidad menor. Con esta consideración nos liberamos de cálculos algebraicos.

Así, la solución buscada por recurrencia se puede expresar de esta forma, que da el valor directamente:

A(n)=2*F(n-1)+F(n)-1=F(n+1)+F(n-1)-1

Podríamos expresarlo en función de la raíz de 5 en una fórmula demasiado larga. Es preferible expresarla usando la función FIBONACCI(N). Así se puede encontrar con PARI:

 for(i=1,40,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;print1(a,", "))

La web de PARI (https://pari.math.u-bordeaux.fr/gpwasm.html), nos ofrece las mismas soluciones que las publicadas en OEIS, que en las fórmulas incluyen F(n+2)+F(n)-1, porque suelen usar el 0 como primer índice. En la programación en PARI,  G. C. Greubel usa una expresión similar a la obtenida aquí.

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, 271442, 439203, 710646, 1149850, 1860497, 3010348, 4870846, 7881195, 12752042, 20633238, 33385281, 54018520, 87403802, 141422323, 228826126, …

Se descubren varios números primos en el listado. Podemos modificar nuestra búsqueda para encontrarlos:

for(i=1,100,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

Estos serían los primeros números primos:

2, 3, 17, 103681, 10749957121, 115561578124838522881

No he encontrado cuadrados, pero si se encuentran números que son una potencia más una unidad:

10, 17, 28, 122, 842, 5777, 39602, 271442, 1860497, 12752042, 87403802, …

Este ha sido un estudio que abre caminos a otras técnicas matemáticas. Es sólo un inicio para quienes deseen profundizar. En la siguiente entrada se completará con algún caso más.