Números del tipo N(N+2)

Los números del tipo N(N+2), como 3*5, 4*6 o 8*10, no presentan propiedades trascendentes, ni han aparecido mucho en las cuestiones de Teoría de Números, pero los vamos a elegir como ejemplo de cómo emprender una descripción lo más completa posible de un tipo de números mediante las herramientas que usamos en este blog, en especial de las hojas de cálculo.

Descripción

El primer sentido de estos números es el de aquellos que se pueden representar como un rectángulo con la base dos unidades mayor que la altura. Esto no nos lleva a muchas cuestiones interesantes, por lo que nos limitaremos a nombrarlos como “oblongos_2”.La imagen nos representa el número 35=5*7:

Nos da mucha más información el hecho de que N(N+2)=(N+1)²-1, es decir, números que equivalen a un cuadrado menos una unidad (ya hemos estudiado en este blog los que son un cuadrado más una unidad, en https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html)

Si en el ejemplo anterior, de 5*7=35, lo convertimos en 36-1=(6-1)(6+1)=6²-1 obtendremos otra perspectiva de estos números. Lo comprobamos en la imagen, en la que una fila de unidades se ha movido para representar mejor esta equivalencia:

Suma de impares consecutivos

En una entrada reciente hemos estudiado la posibilidad de representar un número como suma de enteros impares consecutivos si equivale a una diferencia de cuadrados, como sería nuestro caso, N(N+2)=(N+1)²-1².

Según las técnicas que estudiamos en ella, 35 debería ser equivalente a 3+5+7+9+11, y esta propiedad la compartirán todos los de este tipo, que serán equivalentes a una suma de impares consecutivos entre 3 y 2N+1.

La siguiente imagen lo explica mejor. Cada impar sería el gnomon (figura en ángulo) destacado en colores alternos: 3+5+7+9+11.

Listado de estos números

El contar con una fórmula y un desarrollo en sumas facilita la búsqueda de estos números, que se hace trivial. No obstante, repasaremos algunas herramientas:

Con el Buscador de Naturales

En estos casos es muy intuitivo nuestro Buscador (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador)

En la siguiente captura de imagen observamos que la única condición es que N+1 sea un cuadrado:

Con esa condición obtenemos un primer listado de los números tipo N(N+2), lo que no es ninguna proeza. También podemos acumular impares. La primera condición es NO PAR, y en la segunda solicitamos evaluar las sumas parciales:

Volvemos a obtener la misma sucesión. Por último, exigimos que su fórmula sea N²+2N+0, con la condición de que sea una fórmula cuadrática de coeficientes 1, 2 y 0.

Las tres técnicas coinciden pues en el listado 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195,…que está publicado en https://oeis.org/A005563

A005563              a(n) = n*(n+2) = (n+1)^2 - 1.

0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360, 399, 440, 483, 528, 575, 624, 675, 728, 783, 840, 899, 960, 1023, 1088, 1155, 1224, 1295, 1368, 1443, 1520, 1599, 1680, 1763, 1848, 1935, 2024, 2115, 2208, 2303, 2400, 2499,

Funciones en VBasic

Los factores de N(N+2) no han de ser primos, por lo que para saber si un número es del tipo “oblongo_2” no es de mucha utilidad el descomponer en factores primos. Es preferible exigir que su consecutivo sea cuadrado. Podemos usar esta:

Function oblongo2(n) As Boolean
If escuad(n + 1) Then oblongo2 = True Else oblongo2 = False
End Function

Con ella podemos buscar ejemplos para números mayores. En la imagen hemos descompuesto los primeros oblongos_2 a partir de 100000:

Recurrencias

Los números expresados con polinomios de segundo grado suelen presentar múltiples recurrencias.

Recurrencia con el anterior

La primera recurrencia que se nos ocurre es la derivada de que sean sumas de impares consecutivos, luego seguimos a Vincenzo Librandi en OEIS:

a(n) = a(n-1) + 2*n+1

Es tan sencilla de interpretar que la dejamos así.

Recurrencia con dos términos

Es fácil probar que a(n)=2a(n-1)-a(n-2)+2

Aplicamos definiciones:

2a(n-1)-a(n-2)+2=2(n-1)(n+1)-(n-2)*n+2=2n²-2-n²+2n+2=n²+2n=n(n+2), luego equivale a a(n).

Es fácil su comprobación:

15=2*8-3+2, 24=2*15-8+2, 35=2*24-15+2,…

Recurrencia con tres términos

A(n+2)=3a(n+1)-3a(n)+a(n-1)

Tiene la ventaja de que es homogénea, sin término independiente, y aparece a menudo en cuestiones de números figurados.

En lugar de demostrarla algebraicamente, hemos acudido a nuestra herramienta ecurrecurre (http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm)

Tiene fallos en su funcionamiento, por lo que no se ofrece como herramienta general en Hojamat.es.

Con ella se obtienen los coeficientes 3, -3 y 1 que figuran en la fórmula de recurrencia:

Esta recurrencia la podemos comprobar con nuestra herramienta recurre_lineal:

(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Elegimos recurrencias de tercer orden y escribimos coeficientes y términos iniciales:

 

A la izquierda aparecerán los primeros términos:

Suma de términos del tipo n(n+2)

Es fácil encontrar una fórmula para la suma de los primeros números de este tipo. Basta expresar los como n²+2n y aplicar las fórmulas de las sumas de cuadrados y las de enteros:

Simplificando:

Hemos aplicado esta fórmula a los primeros valores de n, con el resultado:

En la primera columna se ha aplicado la fórmula de la suma que acabamos de obtener, y en la segunda, mediante diferencias, se ha vuelto a la sucesión primitiva, de n(n+2)

Estas sumas. 3, 11, 26, 50, 85, 133, 196, 276, 375, 495,…están publicadas en https://oeis.org/A051925, donde se explican otros orígenes interesantes de esta sucesión

Con el Buscador es fácil obtenerlos:

Ya conocemos las dos condiciones usadas. En la primera columna figuran los números oblongos_2 y en la segunda sus sumas.

Subtipos de estos números

Cuando estudiamos algunos tipos de números en este blog, solemos buscar subtipos, pues a veces se encuentran propiedades o relaciones no buscadas.

Cuadrados

Estos números no pueden ser cuadrados, pues no existen cuadrados consecutivos salvo 0 y 1.

Triangulares

Sí existen términos triangulares, como el 3. Son aquellos triangulares cuyo consecutivo es un cuadrado, como también cumple el 15. Estas condiciones son adecuadas para usar el Buscador:

Las soluciones 3, 15, 120, 528, 4095,…están publicadas en https://oeis.org/A006454

Semiprimos

Para que n(n+2) sea semiprimo, la única solución es que tanto n como n+2 sean primos, es decir, gemelos. A la inversa, todos los productos de primos gemelos serán, evidentemente, de este tipo.

En esta búsqueda los semiprimos figuran en la segunda columna. Es fácil entender las condiciones impuestas:

Cubos

Desde hace tiempo se conoce que el único cubo seguido de un cuadrado es el 8.

Capicúas

Es una cuestión menor, pero es interesante que los lectores demuestren la causa de que 99, 9999, 999999,…figuren en el listado:

3, 8, 99, 323, 575, 4224, 5775, 9999, 36863, 42024,…

Números de Fibonacci

Sólo hemos encontrado las soluciones 3 y 8.

Aquí paramos los subtipos.

Hemos efectuado un recorrido sobre los números del tipo n(n+2) con las herramientas usuales de este blog. Es un tipo de estudio ameno, pero sin gran trascendencia.