Un número y sus cifras (3) - Smith

En los números de Smith la suma de sus cifras coincide con las de sus factores primos tomados con repetición, como el 666, cuyas cifras suman 18 y las de su desarrollo en factores primos 2*3*3*37 también: 2+3+3+3+7=18. Los tienes en http://oeis.org/A006753

En la definición más aceptada, se exige que estos números sean compuestos, pues en el caso de los primos esta condición se cumple trivialmente.

Los primeros son: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666,…( https://oeis.org/A006753)

El primer número de este tipo lo publicó Albert Wilansky, que fue quien dio este nombre, porque se basó el en teléfono de su cuñado Harold Smith. El 49377775= 3*5*5*65837 cumple la definición:

4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42

Búsqueda de estos números

Aunque estén publicados y muy estudiados, es gratificante usar una hoja de cálculo para reproducirlos. Usaremos una función adaptada de otra similar que publicamos en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/sumas-de-cuadrados-de-cifras-8-numeros.html

Esta función sumará las cifras de los factores de un número, para comparar el resultado con la suma de cifras del mismo:

Public Function smith(n) As Boolean

Dim f, a, e
If esprimo(n) Then smith = False: Exit Function ‘Solo compuestos
a = n 'Copia el valor de n
f = 2 'Recogerá los factores primos
e = 0 'Recogerá la suma de las cifras
While f <= a
While a / f = a \ f  ' Ve si es divisor
a = a / f: e = e + sumacifras(f) ' Si lo es, suma las cifras
Wend
If f = 2 Then f = 3 Else f = f + 2 ' Siguiente factor, que será primo por la división a=a/f
Wend
If e = sumacifras(n) Then smith = True Else smith = False
End Function

Hemos comprobado la función y coinciden los resultados con los publicados.

Con esta función se pueden detectar números de este tipo que estén próximos. Por ejemplo, los números de Smith consecutivos, o números de Smith “hermanos”, como 728 y 729. Basta exigir SMITH(N) AND SMITH(N+1) en cualquier buscador. Lo hemos efectuado con Excel con este resultado:

Los menores de cada par están publicados en https://oeis.org/A050219

Hay muchos pares que se diferencian en dos unidades. Los podríamos llamar “primos o cousins”. Los primeros son:

También se pueden buscar ternas de números de Smith consecutivos. Hemos localizado la primera terna con Excel:

Las siguientes las tienes en https://oeis.org/A105648

No seguimos por este camino. Sería cuestión de ampliar y tener paciencia.

Números de Smith generalizados 

Podemos sustituir la igualdad de las dos sumas que estamos comparando por la condición de que las cifras de los factores primos de N sumen un múltiplo de la suma de las propias cifras de N. En nuestras exploraciones hemos comprobado que suelen publicarse clasificando los números de este tipo según el cociente entre las dos sumas.

Para encontrarlos deberemos sustituir la igualdad

If e = sumacifras(n) Then smith = True Else smith = False

En su lugar llamaremos q al cociente entre e y sumacifras(n), y verificar que es entero e igual al cociente que propongamos:

q = e / sumacifras(n, 1)
If q = Int(q) And q = k Then smith = True Else smith = False

El valor de k está prefijado por los usuarios, ya que en la cabecera de la función correspondiente lo añadiremos como parámetro:

Public Function smith(n, k) As Boolean

Por ejemplo, para k=2 obtenemos la lista de aquellos números en los que la suma de las cifras de sus factores primos sea el doble de la de las propias del número:

De igual forma procederíamos con otros valores de k. Los primeros ejemplos están todos publicados.

Números “hoax” o engañosos

Podemos suprimir de la suma de cifras las repeticiones de los factores primos. Nos puede seguir siendo útil nuestra función Smith, pero sin sumar los factores repetidos nada más que una vez. Para ello introducimos una variable cuenta=0, que se transforma en 1 en cuanto detecta una primera sumas. Algo así:

cuenta = 0
While a / f = a \ f 
a = a / f
If cuenta = 0 Then e = e + sumacifras(f, 1): cuenta = 1
Wend

 Con esta modificación obtenemos los números hoax en lugar de los de Smith:

Por ejemplo, 160=2⁵*5, y como contamos el 2 una sola vez, obtenemos la igualdad 1+6+0=2+5=7

(Ver https://oeis.org/A019506)

Aquellos de estos números que sean libres de cuadrados, serán también números de Smith.

Números de Smith cuadráticos

Estos números son mucho menos populares, pero hemos publicado una entrada sobre ellos en este blog

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/sumas-de-cuadrados-de-cifras-8-numeros.html)

Son aquellos números en los que la suma de los cuadrados de sus cifras coincide con las sumas, también de cuadrados, de sus factores primos con repetición.

Nos remitimos a esta entrada nuestra.