Un número y sus cifras (2) - Zuckerman

En la anterior entrada estudiamos los números de Niven, que son múltiplos de la suma de sus cifras. Ahora buscaremos propiedades en las que participe el producto de las mismas. En esa entrada usamos las funciones sumacifras y producifras, que nos serán ahora igualmente útiles.

Números de Zuckerman

 

Estos números son divisibles entre el producto de sus cifras. Al buscarlos, hay que introducir la condición de que producifras no sea nulo, lo que provocaría el error de “división por cero”. Con esta condición es sencillo encontrar los primeros de al menos dos cifras, pues los de una cumplen todos la condición:

Están publicados en https://oeis.org/A007602

Es evidente que los repitunos 1, 11, 111, 1111,…y sus consecutivos 2, 12, 112, 1112,…, así como los 5, 15, 115, 1115,…pertenecen todos a esta sucesión.

Los números de Zuckerman forman una subsucesión de los “desnudos”, que se llaman así porque dejan al descubierto sus factores primos. Son aquellos que son divisibles entre cada una de sus cifras. Por ello, los de Zuckerman, al serlo entre el producto, también son múltiplos de las cifras una a una. Un número desnudo es el 672, que es divisible entre sus tres cifras: 672/6=112; 672/7=96 y 672/2=336.

Las frecuencias de estos números disminuyen claramente al incrementar el valor de N. De Koninck and Luca demostraron que siempre están comprendidas entre x^0.122 y x^0.863. En la tabla desde 0 a 10000 se muestra claramente que este intervalo es muy amplio:

Números divisibles entre suma y también producto

Podemos unir las dos condiciones de que un número sea múltiplo de la suma de sus cifras y también de su producto, si este no es nulo.

Una sencilla ampliación de las búsquedas nos lleva al resultado (para números de más de una cifra):

 

Están publicados en https://oeis.org/A038186

Números de Moran

Son también un subconjunto de los números de Niven

Se llaman así a aquellos números de Niven en los que el cociente N/SUMACIFRAS(N) es primo. Con un buscador unimos la condición de que ese cociente sea entero con la de que sea primo, y así los encontraremos. En la siguiente imagen figura el resultado con nuestro Buscador de Naturales:

Podemos añadirle el cociente en la columna de detalles:

Así comprobamos que todos los cocientes son primos.

Estos números de Moran están publicados en https://oeis.org/A001101

En esa página se usa un procedimiento en PARI muy ilustrativo de la potencia de este lenguaje:

is(n)=(k->denominator(k)==1&&isprime(k))(n/sumdigits(n)) \\ Charles R Greathouse IV, Jan 10 2014

En el listado se observan dos números de Moran consecutivos, 152 y 153, en los que 152/(1+5+2)=19, primo, y 153/(1+5+3)=17, también primo, y ambos cocientes, 17 y 19 son primos consecutivos.

¿Existirán más pares de este tipo? Se pueden buscar con la misma herramienta:

Vemos que sí existen más pares de números de Moran consecutivos. En la página https://oeis.org/A085775 puedes consultar un listado más completo.

¿Existirán más pares en los que los cocientes sean primos consecutivos?

Aquí el Buscador ya se nos queda elemental, y deberemos acudir a otro implementado en Excel. Con él hemos encontrado tres:

 

Números de Rhonda

Como en anteriores entradas de esta serie, trabajaremos en base 10 para tener en cuenta las cifras de un número.

Los números de Rhonda son aquellos naturales que cumplen que el producto de sus cifras es igual a la base de numeración (en este caso 10) multiplicada por la suma de cifras de sus factores primos.

Un ejemplo es el número 5265, que se descompone como 5265=3^4*5*13, y se cumple que

5*2*6*5=300=10*(3+3+3+3+5+13)=10*30

Como el producto ha de ser múltiplo de 10, entre las cifras del número ha de figurar un 5, y además una cifra par al menos.

Con nuestros buscadores en hoja de cálculo bastará pedirles que producifras(n)=10*sopfr(n).

Con esta sencilla condición nos aparecen los primeros:

Hemos descompuesto cada uno en factores primos y después los hemos sumado con repetición (función SOPFR). Es fácil ver que los productos de la segunda columna son diez veces mayores que los de la última.

Están publicados en https://oeis.org/A099542.

Recorriendo la tabla observamos que todos los productos de cifras son múltiplos de 20, pero esto no es necesario. Si extendemos la búsqueda encontraremos un contraejemplo:

Algunos tipos de números de Rhonda

Potencias

Entre los 100000 primeros números encontramos un cubo y una sexta potencia:

Cubo: 5832=18^3 y 5*8*3*2=10*(2+2+2+3+3+3+3+3+3)

Sexta potencia: 15625=5^6 y 1*5*6*2*5=10*(5+5+5+5+5+5)

Con cifras crecientes y otros

No hemos encontrado capicúas (palindrómicos) entre los primeros números de Rhonda, pero sí con cifras crecientes:

1568=2^5*7^2 y 1*5*6*8=240=10*(2+2+2+2+2+7+7)

Con cifras decrecientes no aparecen entre los primeros. Sí hay muchos con todas sus cifras distintas:

1568, 2835, 4752, 5439, 5824, 5832, 8526, 12985, 15698, 19435, 47265, 52374, 53176, 53742, 56718,…

Generalización

Si suprimimos la condición de multiplicar SOFPR por la base, y dejamos libre ese factor, nos resultará un listado distinto de números. Los siguientes aparecen si excluimos aquellos números que presentan una cifra igual a cero, pues en ese caso tendríamos muchas soluciones triviales:

2, 3, 4, 5, 7, 18, 25, 64, 154, 168, 187, 196, 255, 288, 329, 336, 364, 418, 437, 442, 455, 476, 532, 592, 624, 625, 629, 729, 748, 952, 978, 986, 988, 1298, 1449, 1458, 1484, 1519, 1568, 1573, 1595, 1674, 1764, 1824, 1826, 1955, 1989,…

Por ejemplo, en 455 el producto de las cifras es 100 y la suma de las de los factores primos es 5+7+13=25, y 100 es múltiplo de 25.

Algunos de ellos, de forma similar a lo que ocurría con los números de Smith (https://mathworld.wolfram.com/SmithNumber.html) presentan cociente 1, es decir, que el producto de sus cifras coincide con la suma de las de sus factores primos.

En esta tabla se observa bien la igualdad entre PRODUCIFRAS y SOPFR:

Están publicados en https://oeis.org/A065774