Regresos 8 – Diferencia entre Catetos

En el año 2010 se publicó en este blog una entrada dedicada a los números

1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79 (https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/10/1-7-17-23-31-41-47-49-71-73-79-primera.html), relacionados con las diferencias entre catetos en una terna pitagórica.

También se estudió el caso de los catetos consecutivos en tres entradas sobre “Oblongos y pitagóricos”

 (https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/03/oblongos-y-pitagoricos-1.html y siguientes)

En estas entradas se llegó a que las diferencias entre catetos en ternas primitivas sólo pueden ser 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ...(http://oeis.org/A058529), que se caracterizan porque sus factores primos son del tipo p=8k+1 o p=8k-1.

Como en otras ocasiones, la disponibilidad de nuevas técnicas y herramientas nos lleva a regresar a ellos, ampliando el tema de las diferencias entre catetos. Damos algunas vueltas más a estas cuestiones.

Función para encontrar catetos con una diferencia dada

El primer paso para comprender el problema es tener en cuenta que lo que pretendemos es resolver esta ecuación para valores enteros positivos:

x²+(x+k)²=y²

Creamos una función de texto que devuelve las primeras soluciones respecto a k

function catetos_ligados$(k)
dim x,y
dim s$

x=3
s$=""
while x<500
y=x^2+(x+k)^2
if escuad(y) then ‘Es una solución
y=sqr(y)
s=s+"## "+str$(x)+", "+str$(x+k)+", "+str$(y)+" " ‘Se publica
end if
x=x+1
wend
if s="" then s="NO"
catetos_ligados=s
end function

Con esta función obtenemos los resultados para k=7

5,  12,  13
8,  15,  17
21,  28,  35
48,  55,  73
65,  72,  97
140,  147,  203
297,  304,  425
396,  403,  565

Si le pedimos tan solo el valor de x, resultará la sucesión

 5,  8,  21,  48,  65,  140,  297,  396,  833,  1748,  2325,  4872,  10205,  13568,  28413,  59496,  79097…

Esta sucesión coincide con la publicada en https://oeis.org/A076296

A076296              Consider all Pythagorean triples (X,X+7,Z); sequence gives X values.   

-3, 0, 5, 8, 21, 48, 65, 140, 297, 396, 833, 1748, 2325, 4872, 10205, 13568, 28413, 59496, 79097, 165620, 346785, 461028, 965321, 2021228, 2687085, 5626320, 11780597, 15661496, 32792613, 68662368, 91281905, 191129372, 400193625, 532029948, 1113983633

Esta sucesión posee infinitos términos, pues, según vimos en las entradas a las que regresamos, se cumple lo siguiente:

Si u y v engendran una terna pitagórica mediante las fórmulas 2uv, u²-v² y u²+v², los valores 2u+v y u engendran otra terna con la misma diferencia de catetos.

Así, el  primer ejemplo conseguido con diferencia 7, (5, 12,13) se ha generado con 3²+2²=13, 2*3*2=12 y 3²-2²=5, con lo que producirá también diferencia 7 el par de valores u=2*3+2=8 y v=3

Quedaría 8²+3²=73, 8²-3²=55 y  2*8*3=48, es decir, la terna (48, 55, 73), con diferencia entre catetos de 7, que figura en el listado.

Reiterando el procedimiento resultarían tantas ternas como deseáramos.

Estudio algebraico

Desarrollamos la ecuación correspondiente a la diferencia 7:

x²+(x+7)²=y²

2x²+14x+49=y²

4x²+28x+98=2y²

(2x+7)²+49=2y²

Si cambiamos de variable: u=2x+7, nos queda 2y²-u²=49

De esta forma se justifica la relación con los contenidos de las entradas referidas más arriba, porque tratamos con las soluciones de una ecuación del mismo tipo 2x²-y²=k, con lo que podemos aplicar lo que conocemos de ella.

Primera recurrencia

La ecuación 2x²-y²=k² la escribiremos mejor como x²-2y²=-k², para destacar que es del llamado tipo-Pell, pues puede basarse en esa famosa ecuación x²-Dy²=1, que tiene solución si D no es cuadrado perfecto (ver en este blog https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/02/ecuacion-de-pell.html) y que es parecida a ella.

La ecuación que nos ocupa no es de ese tipo, por lo que su resolución es más complicada, pero existe una estrategia, si se dispone de una solución particular, para generar más soluciones (quizás no todas). Consiste en aplicar la recurrencia propia de la ecuación de Pell (aunque la que tratamos sea solo tipo-Pell), que copiamos de la entrada referida:

X_n+Y_n√D = (X_n-1+Y_n-1√D) (X₀+Y₀√D)

En este caso disponemos de la primera terna (5,  12,  13), y sabemos ya que si hacemos u=2x+7, se cumple que 2y²-u²=49, con lo que, cambiando la variable, X_n=2*5+7=17 e Y_n es la hipotenusa 13 de esa terna, y ambas cumplen 17²-2*13²=-49, luego (17, 13) es una solución particular (X_n,Y_n).

Ahora hay que tomar como (X₀,Y₀) una solución de la ecuación de Pell x²-2y²=1, que claramente puede ser (3, 2). Todo esto parece complicado, pero repasando se entiende. Resumimos:

(X_n,Y_n) es una solución de x²-2y²=-49, y podemos elegir el par (17,13)

(X₀,Y₀) es una solución de x²-2y²=1, y elegimos (3,2)

Según nuestra entrada referida, separando términos queda:

X_n = X_n-1X₀+Y_n-1Y₀D

Y_n = X_n-1Y₀+Y_n-1X₀

En nuestro caso

X_n = 3X_n-1+2*2Y_n-1

Y_n = 2X_n-12+3Y_n-1

Así podemos buscar otras soluciones a partir de 17 13.

Lo hemos intentado y resulta que nos devuelve todas las soluciones que deseemos, pero partiendo de X_n nos lleva a X_n+3. En la siguiente tabla lo destacamos:

La zona amarilla destaca las soluciones que no se obtienen por recurrencia. Las dos columnas centrales se han obtenido con la recurrencia explicada, a partir de (17, 13). El valor de X se obtiene de u=2x+7 o x=(u-7)/2, y el del otro cateto, restando 7 unidades a X.

Hemos comprobado que esta recurrencia nos devuelve más ternas, y se puede aplicar a cualquier otro valor de K.

Otros aspectos del problema

También se cumple que u²+7²=2y² por lo que u pertenece a https://oeis.org/A076293, ya que  la media cuadrática de los dos cuadrados, u² y 7² es entera. Esto ocurrirá en general, para un valor k adecuado de la diferencia: u²+k²=2y², con lo que u=2x+k siempre pertenecerá a esa sucesión.

Si nos limitamos a ternas pitagóricas primitivas, un cateto podría representarse com u²-v² y el otro como 2uv, según un procedimiento muy conocido. En este caso, salvo quizás el signo, se cumplirá que u²-v²-2uv=k, o bien:

(u-v)²-2v²=k

Según las propiedades de estas ternas, las bases de los dos cuadrados han de ser de distinta paridad y números primos entre sí. Por eso k ha de ser impar. Esto justifica el que los valores de k posibles han de pertenecer a la sucesión 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79,…pues estos son las soluciones de la ecuación x²-2y²=k, similar a la obtenida con cambios de variables adecuados. En https://oeis.org/A058529 se explica su propiedad de tener sólo factores primos del tipo 8k+1 o del 8k-1.

Una propiedad interesante derivada de todo lo anterior es que si un valor de k es válido para ser diferencia de catetos, también los es k², porque ambos son soluciones de una ecuación del tipo x²-2y²=k. Lo hemos comprobado con la función catetos_ligados. En la imagen se refleja esta propiedad en el caso de k=71:

 

Segunda recurrencia

En OEIS A076296 se propone una ecuación de recurrencia para los valores X del cateto menor en el caso ya estudiado de k=7. Es esta:

 a(n)=6*a(n-3)-a(n-6)+14.

La hemos comprobado con nuestra herramienta ecurrecurre (ver  listado de herramientas para el blog en http://www.hojamat.es/sindecimales/otros.htm) en el apartado de recurrencias no homogéneas.

En esta captura de pantalla se pueden comprobar los coeficientes 6, -1, 14

 

Hemos copiado los términos de tres en tres.

Este resultado nos anima a probar cono otros valores posibles de k. El siguiente es 17. En primer lugar, hemos creado la sucesión de lados de las ternas usando nuestra función para VBasic:

##  7,  31,  25 ##  28,  73,  53 ##  51,  119,  85 ##  88,  193,  137 ##  207,  431,  305 ##  340,  697,  493 ##  555,  1127,  797 ##  1248,  2513,  1777 ##  2023,  4063,  2873 ##  3276,  6569,  4645 ##  7315,  14647,  10357 ##  11832,  23681,  16745 ##  19135,  38287,  27073 ##  42676,  85369,  60365

A continuación hemos seleccionado los catetos menores de tres en tres (los que aparecen en negrita). Los hemos volcado como datos en ecurrecurre, eligiendo el caso de “No homogénea”. El resultado confirma nuestra intuición. Se mantienen los coeficientes y el término independiente resulta ser 2k, como en el caso de k=7:

 

No es de extrañar el valor de 34, ya que, en realidad, todas estas sucesiones están ligadas con https://oeis.org/A076293, que contiene los valores de 2x+k, según vimos más arriba. En esta sucesión la recurrencia es homogénea: a(n)=6a(n-3)-a(n-6), según hemos comprobado también. Por eso se produce un desfase entre ambas sucesiones, que se traduce en el término independiente 2k.

Sea x(n)=(a(n)-k)/2. Podemos manipular la ecuación de recurrencia:

a(n)-k=6(a(n-3)-k)-(a(n-6)-k)+4k

(a(n)-k)/2=6((a(n-3)-k)/2)-(a(n-6)-k)/2+2k

Y queda x(n)=6x(n-3)-x(n-6)+2k

Hemos demostrado que los valores de X para cualquier valor de k se pueden encontrar mediante la recurrencia a(n)=6a(n-3)-a(n-6)-2k, basándonos en que los términos de https://oeis.org/A076293 se generan con esta otra: a(n)=6a(n-3)-a(n-6).