Regresos 6 – Oblongos y pitagóricos (2)

 En esta entrada seguimos trabajando con los valores de N tales que N y N+1 son catetos en una terna pitagórica y abrimos otras posibilidades.

Relación con triangulares

Área triangular y oblonga

Ya se comentó en la anterior entrada que el área del triángulo rectángulo de catetos N y N+1 es un número triangular. En la sucesión que nos ocupa, las áreas son las siguientes (prescindimos del cero):

6, 210, 7140, 242556, 8239770, 279909630, 9508687656, 323015470680, 10973017315470,…

Están contenidas en http://oeis.org/A029549

En mi entrada  de blog

 http://hojaynumeros.blogspot.com/2021/05/triangulares-que-son-oblongos.html)

Se llega a la misma sucesión si exigimos que unos números sean triangulares y oblongos a la vez

En la parte inferior de la imagen se puede leer el código PARI usado.

Estas áreas están publicadas en http://oeis.org/A029549

A029549    a(n + 3) = 35*a(n + 2) - 35*a(n + 1) + a(n), with a(0) = 0, a(1) = 6, a(2) = 210.   

0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770, 279909630, 9508687656, 323015470680, 10973017315470, 372759573255306, 12662852473364940, 430164224521152660, 14612920781245825506, 496409142337836914550, 16863297918705209269200

Resumimos la situación en la siguiente tabla, en la que en la última columna figuran las expresiones del área como número oblongo.

Por tanto, las hipotenusas de estas ternas son números triangulares y también oblongos, es decir, son el doble de otro triangular.

Otras diferencias entre catetos

Si tomamos la terna 3, 4, 5 y multiplicamos sus lados por un mismo número, es evidente que resultará otra terna, pero no primitiva, en la que los catetos se diferenciarán en el factor de multiplicación que hayamos usado.

Así que cualquier número entero puede ser diferencia entre catetos. Además, si es diferencia en una terna, puede serlo en infinitas. La causa es que si en la generación de terna mediante los valores (u²-v², 2uv, u²+v²), también tendrán la misma diferencia si sustituimos u, v por 2u+v, u. En efecto, los lados serían:

Hipotenusa: (2u+v)²+u²=4u²+v²+4uv+u²=5u²+v²+4uv

Cateto 1: (2u+v)²-u²=4u²+v²+4uv-u²=3u²+v²+4uv

Cateto 2: 2*(2u+v)*u=4u²+2uv

Diferencia u²-v²-2uv

Es la misma diferencia que entre los dos catetos primitivos, u²-v² y 2uv

Lo vemos con un ejemplo: Si u=2 y v=1, resulta la conocida 3, 4 y 5, con diferencia 1 entre catetos. Si aplicamos la transformación 2u+v, u, queda que u=2*2+1=5 v=2, Cateto 1: 5²-2²=21, 2*5*2=20, y mantienen la misma diferencia 1.

Reiterando el procedimiento obtendremos infinitas ternas con la misma diferencia (salvo signo u orden). Si la primera es primitiva, todas las demás lo serán, porque si u y v son primos entre sí, también lo serán 2u+v y u.

Ejemplo:

De los valores u=4, v=3, x=7, y=24, z=25, con diferencia entre catetos igual a 17, podemos engendrar u=11, v=4, x=88, y=105, z=137, con 105-88 = 17 y después u=26, v=11, x=572, y=555 z=797, y así tantas como queramos.

Valores de las diferencias

Si sólo admitimos ternas primitivas, no todos los números pueden ser diferencia de catetos. Los únicos posibles son 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ...

La razón es que las diferencias han de tener factores primos del tipo 8k+1 o bien 8k-1 (Ver http://oeis.org/A058529)

Otras relaciones entre hipotenusa y cateto

En las últimas cifras

Existen muchas hipotenusas que coinciden con catetos en las dos últimas cifras. Para que el estudio no tenga casos triviales, eliminamos los que terminan en dos ceros. Un ejemplo sería la terna (260, 288, 388), en la que dos lados terminan en 88. No es difícil encontrar hipotenusas de este tipo. Podemos probar esta función para Excel, en la que n es el número a estudiar y c el número de cifras en las que coincide con un cateto:

Function hip_mod_cat(n, c)

Dim i, m, p, r

Dim s$

s = "" ‘En esta cadena se volvará la terna pitagórica

m = 10 ^ c ‘Esta variable contendrá 10^c, 10, 100, 1000…

r = n Mod m ‘Encuentra las últimas cifras

If r = 0 Then hip_mod_cat = "NO":  Exit Function ‘Desechamos potencias de 10

For i = r To n - m Step m

'If n - i Mod m = 0 Then ‘Tienen cifras iguales

If escuad(n ^ 2 - i ^ 2) Then p = Sqr(n ^ 2 - i ^ 2): s = s + Str$(p) + ", " + Str$(i) + ", " + Str$(n) ‘Si es un cateto, creamos la terna en modo texto

'End If

Next i

If s = "" Then s = "NO"

hip_mod_cat = s

End Function

Con esta función se puede crear un bucle de búsqueda y obtenemos estas ternas:

Observamos que algunas hipotenusas presentan dos soluciones. Podíamos estudiar este caso, pero no merece la pena, para una simple curiosidad.

Como el proceso de búsqueda es rápido y aparecen pronto muchas soluciones, no abandonaremos la hoja de cálculo para buscar otros instrumentos.

El tercer cateto será siempre múltiplo de 10, ya que es la raíz cuadrada de una diferencia de cuadrados con las cifras últimas coincidentes.

Como curiosidad, estas son las soluciones para tres cifras, por si deseas reproducirlas. El comportamiento del otro cateto te dará una pista para entender el proceso.

Así que es condición necesaria que el tercer cateto termine en ceros.

 

Hipotenusa y cateto anagramáticos

Finalizamos esta exploración con un ejemplo más de relación entre hipotenusa y cateto. Con él y todo lo anterior como base, se pueden intentar otras búsquedas, que ya no entran aquí. Lo dejamos como propuesta.

Dos números son anagramáticos si poseen las mismas cifras y con la misma frecuencia. Para estudiarlos usaremos nuestra función digiordenado, que ordena las cifras de un número entero. La puedes consultar en esta entrada del blog:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/05/sumas-anagramaticas.html

Con esta función es fácil saber si dos números son anagramáticos, pues entonces digiordenado dará el mismo resultado en ambos. Con esta idea, hemos construido una dunción similar a las anteriores. Es esta:

Function hip_anam_cat(n)

Dim i, p, r

Dim s$

s = ""

For i = 1 To n - 1

If digiordenado(n) = digiordenado(i) And escuad(n ^ 2 - i ^ 2) Then

p = Sqr(n ^ 2 - i ^ 2): s = s + Str$(p) + ", " + Str$(i) + ", " + Str$(n)

End If

Next i

If s = "" Then s = "NO"

hip_anam_cat = s

End Function

No necesita explicación. Con ella hemos encontrado estos ejemplos:

La tercera columna es la de hipotenusas, que son anagramáticas con el segundo cateto. Se observan soluciones dobles en 650 y 765.

El primer cateto siempre será múltiplo de 3, pues si los otros dos lados tienen las mismas cifras, la diferencia de sus cuadrados será múltiplo de 9 y, por tanto, su cuadrado lo será, luego el cateto será múltiplo de 3.

Como curiosidad, esta sería la versión para el lenguaje PARI:

is(n)={my(k=1,v=0);while(k<=n-1&&v==0,if(issquare(n*n-k*k)&&vecsort(digits(k))==vecsort(digits(n)),v=1);k+=1);v}

for(i=1,10000,if(is(i),print1(i,", ")))

Aquí, digiordenado se sustituye por vecsort(digits(k))

Devuelve las hipotenusas:

65, 153, 180, 218, 325, 327, 351, 436, 545, 615, 629, 650, 654, 702, 740, 763, 765, 807, 872, 925, 975, 981, 1325, 1453, 1480, 1530, 1625, 1635, 1640, 1800, 1865, 1872, 1940, 2132, 2180, 2601, 2725…

Con estos ejemplos ya podemos emprender otras búsquedas similares.