Regresos 5 – Un cuadrado y una unidad (2)

Triangulares del tipo n²+1

Si a un número natural le exigimos que sea triangular del tipo n²+1, es equivalente a que su anterior sea un cuadrado. Buscamos, pues, un cuadrado seguido de un triangular. No es difícil plantearlo. En nuestras funciones de Excel sería, usando la conectiva lógica Y:

Y(ESCUAD(N-1);ESTRIANGULAR(N))

Con ella es fácil encontrar los primeros ejemplos de triangulares con la forma n²+1:

10=4*5/2=3²+1

325=25*26/2=18²+1

11026=148*149/2=105²+1

Con PARI podemos usar el criterio issquare(i-1)&&issquare(8*i+1) y obtendríamos fácilmente otro elemento, el 374545.

Estudio algebraico

Podemos plantear que un número triangular sea el consecutivo a un cuadrado:

X*(X+1)/2=Y²+1

Manipulamos esta igualdad buscando una ecuación diofántica tipo Pell-Fermat:

X²+X-2Y²-2=0

4X²+4X+1-8Y²-9=0

(2X+1)²-8Y²=9

Z²-8Y²=9

En este tipo de ecuaciones solemos intentar resolverlas como una ecuación de Pell (en lugar del 9 debería haber un 1 o un -1), para después aprovechar, si es posible, la recurrencia entre soluciones.

Usamos nuestra hoja de cálculo correspondiente (descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell)

Sus primeras soluciones son:

Z=9, X=4, Y=3, con el triangular 4*5/2=10 y el cuadrado 3^2=9

Z=51, X=25, Y=18, Triangular 25*26/2=325 y cuadrado 18^2=324

“Engañamos” al algoritmo usando como primera solución Z=9, Y=3, con lo que el resto de soluciones se genera fácilmente de forma recursiva:

Excel no puede seguir con más cifras enteras. Estas soluciones están publicadas en http://oeis.org/A164055:

A164055    Triangular numbers that are one plus a perfect square.    

1, 10, 325, 11026, 374545, 12723490, 432224101, 14682895930, 498786237505, 16944049179226, 575598885856165, 19553418069930370, 664240615491776401, 22564627508650467250, 766533094678624110085, 26039560591564569275626

Con el lenguaje PARI el planteo es muy simple:

for(i=1,10^8,if(issquare(i-1)&&issquare(8*i+1),print1(i,", ")))

Aquí se exige que i sea triangular (issquare(8*i+1)) y que su anterior sea cuadrado (issquare(i-1))

En esta captura de pantalla se comprueba el resultado:

Ha sido interesante estudiar esta sucesión desde varios puntos de vista.

Oblongos del tipo n²+1

Es costumbre nuestra prolongar los estudios sobre triangulares a sus dobles, que son los números oblongos: O(n)=n(n+1). Nuestra sorpresa ha sido que solo existe la solución X=2=1*2 Y=1²

No es difícil justificar esa ausencia. Si planteamos la ecuación lo razonaremos:

X(X+1)=Y²+1

X²+X=Y²+1

Y²-X²=X-1

Esta igualdad solo se cumple para X=1 y X=Y

En los demás casos, con X>1, la diferencia entre X² y su siguiente cuadrado es 2X+1, siempre mayor que X-1, luego no habrá más soluciones.

Poligonales del tipo n²+1

Hemos estudiado ya los triangulares, y los cuadrados no se pueden considerar en este caso porque no tendría sentido, así que probaremos con los pentagonales. Nuestra función ESPOLIGONAL (ver, por ejemplo, https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/09/consecutivos-que-son-poligonales.html) nos puede ayudar con la hoja de cálculo.

Con Excel

Usamos la fórmula de los pentagonales, P(n)=(3*n²-n)/2, y un algoritmo similar, obteniendo:

Pentagonal  Cuadrado

1                   0

5                   4

145             144

2501           2500

43265         43264

Comprobamos con este código PARI:

is(n)={my(m=1+24*n,b=(1+sqrt(m)));issquare(m)&&b%6==0&&issquare(n-1)}

 for(i=1,5*10^8,if(is(i),print1(i,", ")))

Obtenemos:

1, 5, 145, 2501, 43265, 1387685, 24010001, 415425925

Es muy costoso y lento seguir. Lo dejamos en este punto.

Invitamos a repetir el trabajo con hexagonales. Entre los primeros sólo hemos encontrado 1 y 325.