Números poligonales en general (1)

Después de dedicar entradas a los números pentagonales, hexagonales y heptagonales, reunimos algunas propiedades y técnicas contenidas en ellas para construir una introducción general a los números poligonales.

Estos números son, en realidad, una curiosidad histórica y manantial de propiedades y coincidencias con otras ramas de las Matemáticas, y por eso se mantiene su estudio. Para la definición y características generales de estos números remitimos a algunas páginas que los tratan:

https://en.wikipedia.org/wiki/Polygonal_number

https://mathworld.wolfram.com/PolygonalNumber.html

http://oeis.org/wiki/Polygonal_numbers

 

Definición

Los números poligonales se forman mediante los contornos de polígonos regulares con lados de 1 a k puntos, con la condición de que compartan un vértice y sus dos lados contiguos.

Se entiende mejor con imágenes. Las páginas enlazadas más arriba las contienen con muy buen diseño. Aquí incluiremos unas más imperfectas, pero generadas de forma automática con Excel:

El objeto de estas y otras imágenes similares es aclarar que los poligonales no están formados por polígonos concéntricos, sino adosados a un vértice y dos lados adyacentes.

 

Formas de encontrar su fórmula

Para entender mejor la estructura interna de los números poligonales presentaremos varias formas de descomponerlos, y de cada una deduciremos la misma fórmula.

Polígonos adosados

En la definición hemos aludido a polígonos semejantes adosados y con lados crecientes. Para contar unidades, los hemos convertido en capas con forma de línea quebrada, con una estructura como de cebolla:

Aunque la idea de capas es sencilla, presenta el inconveniente de que cada polígono comparte unidades con el anterior y no se puede contar completo su perímetro. Lo explicamos con la imagen de arriba:

La primera capa es la unidad, por definición. En la segunda hay 7 unidades, ya que tiene forma de heptágono, pero comparte una con la anterior, luego la capa tendrá 7-1=6 unidades. La tercera está formada por 14, pero comparte 3 con las anteriores, se quedará en 2*7-3=11. De la misma forma, la cuarta tendrá 3*7-5=16 y la quinta 4*7-7=21. En total se contarán 1+6+11+16+21=55, que corresponde al valor de un número poligonal de 7 lados e índice 5.

De este esquema podemos deducir la fórmula de los números poligonales, que también deduciremos más adelante con otros esquemas. Llamaremos orden n al número de lados e índice (o lado) k a las unidades de cada lado. Al poligonal lo representaremos por P(n,k) o P_n,k.

Según el razonamiento anterior, habrá que sumar:

1+n-1+2n-3+3n-5+4n-7+…+(k-1)n-(2(k-1)-1)

Aplicamos la fórmula de la suma de una progresión aritmética (en este caso dos progresiones)

S_n=(a₁+a_n)*n/2

Nos quedará, distinguiendo bien las dos progresiones n, 2n, 3n,…(k-1)n y 1, 3, 5, 7,…2(k-1)-1

P(n,k)=1 + (n+(k-1)n)*(k-1)/2 - (1+2(k-1)-1)*(k-1)/2=1+(k-1)/2(kn-(2k-2))

Desarrollando esto nos queda

P(n,k)=k^2*(n-2)-k(n-4))/2

Es costumbre sacar factor común k, con lo queda la conocida fórmula para poligonales, que aparecerá muchas veces en estas entradas:

En el ejemplo del que hemos partido se daría el valor 55:

P(7,5)=5*(5*(7-2)-(7-4))/2=5*(25-3)/2=5*22/2=55

Hemos complicado un poco el cálculo para llegar a la fórmula general, pero las capas siguen una progresión aritmética: 1, 6, 11, 16, 21,…de diferencia 5. Podemos generalizar y considerar que si el número de lados es n, la diferencia será n-2, con lo que la suma será

P(n,k)=1+1+n-2+1+2(n-2)+1+3(n-2)+… =(1+1+(k-1)(n-2))k/2=k/2(k(n-2)-(n-4)) y llegamos a la misma fórmula. Así que

El número poligonal P(n,k) equivale a la suma de k términos de una progresión aritmética con diferencia n-2, desde 1 hasta 1+(k-1)(n-2)

 

Un triángulo de lado k y n-3 triángulos de lados k-1

En el mismo heptágono del apartado anterior podemos contar unidades separándolas en forma de triángulos. El primero vemos que tienen 5 unidades de lado, y después se pueden adosar cuatro con 4 unidades por lado.

En general, P(n,k) será igual a un triángulo de lado k y n-3 triángulos de lado k-1.

Recordemos que la fórmula de un número triangular de lado k es T(k)=k(k+1)/2. Con estas aclaraciones, podemos iniciar la cuenta:

POL(n,k)=T(k)+(n-3)T(k-1)=k(k+1)/2+(n-3)*k(k-1)/2=k(k+1+(n-3)(k-1))/2=k(k(n-2)-(n-4))/2

Llegamos a la misma fórmula general.

 

Un lado y n-2 triángulos

Es fácil ver que si sumamos un lado de longitud k y n-2 triángulos de lado k-1, también se forma el poligonal:

Procedemos a sumar como en los casos anteriores:

POL(n,k)=k+(n-2)k(k-1)/2=k(2+(n-2)(k-1))/2=k(k(n-2)-(n-4))/2

O bien POL(n)=((n-2)k²-(n-4)k)/2

 

Caracterización de los números poligonales

En la fórmula general POL(n,k)=((n-2)k²-(n-4)k)/2 podemos despejar la variable k en función del valor P del número poligonal y del orden o número de lados n:

(n-2)k²-(n-4)k-2P=0

El discriminante D=b²-4ac de esta ecuación ha de ser un cuadrado, a fin de que k sea entero, es decir, que deberá ser cuadrada la expresión

(n-4)²+8P(n-2)

Por ejemplo, deseamos saber si el número 81 es heptagonal, o poligonal de 7 lados.

Aplicaremos D=(7-4)²+8*81(7-2)=9+8*81*5=3249=57²

Como es cuadrado, podemos continuar. Para despejar k volvemos a la ecuación de segundo grado, y quedará k=(n-4+RAIZ(D))/(2(n-2)

En nuestro ejemplo, k=(3+57)/(2*5)=6

Luego 81 es un número heptagonal de lado o índice 6.

Este proceso se puede plasmar en una función de hoja de cálculo. La hemos llamado QUEPOLIGONAL, para averiguar si un número es un poligonal concreto:

Function quepoligonal(n, k) Los parámetros son el número n y el tipo de poligonal

Dim d

d = Sqr((k - 4) ^ 2 + 8 * n * (k - 2)) ‘Raíz cuadrada del discriminante

‘Si la raíz es entera, el número es poligonal del tipo dado y se despeja

If d <> Int(d) Then quepoligonal = 0 Else quepoligonal = (k - 4 + d) / (2 * k - 4)

End Function

 

En la siguiente entrada estudiaremos el uso de nuestra calculadora para números figurados y algunas propiedades interesantes de los poligonales.