Números de Fortune

 A los números que vamos a estudiar se les suele llamar afortunados, pero esa denominación puede confundirse con otras parecidas, como “números felices” o “de la suerte”. Por ello los nombraremos según el primer matemático que los estudió, que fue Reo Franklin Fortune.

Para definirlos bien podemos comenzar recordando los números de Euclides. Son aquellos formados por el producto de los primeros números primos con el añadido de una unidad:

E(n)=p₁*p₂*p₃*….*p_n+1

(Ver https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euclides

y

http://oeis.org/A006862)

Los conocimos en la demostración clásica de la infinitud de números primos, y unos son primos y otros compuestos, como 30031=59*509.

Al primer sumando en la definición se le llama primorial, y ya lo hemos estudiado en este blog

http://hojaynumeros.blogspot.com/2012/02/el-primorial.html

El primorial se suele representar como N#, siendo N el número de factores primos consecutivos de su producto. Por ejemplo, 4#=2*3*5*7=210.

Llamemos Q(n) al primer primo posterior al número de Euclides E(n) de orden n, es decir, posterior a n#+1.

Puede ocurrir que la diferencia P(n) = Q(n)-n# sea un número primo, y en ese caso diremos que P(n) es un número afortunado o de Fortune. Este autor conjeturó que todos ellos serían primos. Es una cuestión no demostrada aún.

Por ejemplo, 2*3*5=30 es el tercer primorial, por lo que 31 es un número de Euclides. Su primo más próximo en orden creciente es 37, y la diferencia 37-30=7 es prima, luego 7 es un número afortunado.

En siguiente página de MathWorld puedes consultar lo más importante sobre estos números.

http://mathworld.wolfram.com/FortunatePrime.html

Búsquedas

Podemos reproducir la lista de números afortunados según el orden creciente de primoriales. El inconveniente, nada grave con una hoja de cálculo, es que resultarán desordenados y duplicados, pues existen soluciones iguales para distintos órdenes. Probamos con este tipo de búsqueda. Usaremos la siguiente función:

Function fortune(n)

dim i,k,p,q,j

k=0

j=2

p=1

for i=1 to n

p=p*j ‘Los primoriales se van formando en la variable p

j=primprox(j) ‘Se añade un nuevo primo

next i

q=primprox(p+1)-p ‘Se restan el siguiente primo y el primorial

if esprimo(q) then k=q ‘Si la diferencia es prima, q es afortunado.

fortune=k

end function

La función devuelve un cero si el primo buscado no es afortunado o un número primo si lo es. Con ella podemos descubrir los primeros números de Fortune. Solo podemos llegar al orden 9 porque se produce desbordamiento:

Están publicados en http://oeis.org/A005235 de forma no ordenada y con duplicados: 3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, 89, 103, 79, 151, 197, 101, 103,…

Para retardar el desbordamiento podemos usar la versión en PARI:

fortune(n)=my(k=0,j=2,p=1);for(i=1,n,p=p*j;j=nextprime(j));q=nextprime(p+1)-q;if(isprime(q),k=q);k

print(fortune(4))

Este sería el resultado:

No parece que el tema dé para más con las herramientas de cálculo que usamos. Si consultas el tema en otras páginas descubrirás que es una cuestión limitada.