El primorial

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas, Edición 3.1 cuyo anfitrión es  Scientia potentia est)

La palabra primorial se suele usar con tres significados distintos:

(1) Un número es primorial si es igual al producto de los k primeros números primos. Por ejemplo, 210=2*3*5*7. Los primeros primoriales son

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030,…
(https://oeis.org/A002110)

(2) Llamaremos primorial de un número N y lo representaremos por N# al producto de todos los números primos menores o iguales que él. Los primeros valores de esta función son (están incluidos n=0 y n=1)

1, 1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310, 30030, 30030, 30030, 30030, 510510, 510510, 9699690, 9699690, 9699690, 9699690, 223092870, 223092870,… 
(https://oeis.org/A034386)

(3) Llamaremos primo primorial o primo de Euclides al que tiene la forma p#+1, siendo p primo. Esta definición recuerda que son estos los números usados por Euclides en su demostración de la infinitud del conjunto de primos. Los primeros son

2, 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, 7420738134811, 304250263527211,...
(https://oeis.org/A006862)

También se suelen llamar primos primoriales a los de la forma p#-1

Como ves, tenemos donde elegir. Nos quedaremos con las dos primeras. Es fácil programar en el Basic de las hojas de cálculo la función primorial de N si posees la función ESPRIMO, ya explicada en este blog. (Puedes buscarla en el Apéndice de http://hojamat.es/publicaciones/hojanum1.pdf)
Su código podría ser

Public Function primorial(n)
Dim k, p
p = 1
For k = 1 To n
If esprimo(k) Then p = p * k
Next k
primorial = p
End Function

No es el más eficiente, pero para explicaciones vale. Con él se puede formar la tabla de la función

Como era de esperar, su crecimiento es notable. A partir de la tabla se puede construir el gráfico

Se ha usado una escala logarítmica para ver mejor su estructura escalonada.

¿Dónde tienen lugar los saltos?¿Por qué unos tramos son de dos, otros de cuatro o de cinco? Preguntas con respuesta sencilla que te puedes plantear.

Algunas propiedades

Todos los números primoriales están libres de cuadrados y cada uno de ellos posee más factores primos distintos que los números menores que él. Ambas propiedades son triviales. La segunda se puede expresar de otra forma:

La función omega de un número primorial tiene mayor valor que las correspondientes a los números que le preceden.

Recuerda que la función omega cuenta los factores primos distintos de un número natural. No hay que cavilar mucho para entenderlo. Esta definición nos proporciona otra idea fácil:

Para un valor dado k de la función omega, el primorial k# es el número más pequeño con ese valor de omega.

El primorial y el factorial

La forma de crecer el primorial nos recuerda a la del factorial. ¿Cuál es mayor? Evidentemente, el factorial. ¿Qué números forman el cociente n!/n#?

Pues a ese cociente entenderás que le podamos llamar el “compositorial de n”. Reflexiona sobre el porqué de ese nombre. ¿Lo has encontrado?, pues demuestra esto:

Dos primoriales consecutivos se corresponden con el mismo compositorial.

Tienes los compositoriales en http://oeis.org/A036691 y la función compositorial de un número en http://oeis.org/A049614

Descomposición factorial de un compositorial

Este es un buen momento para recordar la fórmula de Polignac
(Ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2009/02/formula-de-polignac.html)

Si descompones cualquier factorial mediante esa fórmula, bastará restarle una unidad a cada factor primo para que resulte la descomposición factorial del compositorial. No es tan complicado como parece.

Lo vemos con un ejemplo: Descomponer en factores primos el compositorial de 18.

Puedes abrir la hoja de cálculo polignac.xls o polignac.ods desde la dirección
http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm
Con ella descubrimos que 18! Se descompone tal como se ve en la imagen:

Restamos una unidad a cada exponente y nos resultará comp(18)=2¹⁵*3⁷*5²*7=12541132800

Si visitas http://oeis.org/A049614 podrás comprobar este resultado.

En realidad, el primorial de N es el radical de su factorial. Parece un trabalenguas, pero es que se llama radical de un número al mayor divisor libre de cuadrados que tenga, lo que nos lleva a que el radical es el producto de los factores primos elevados todos a la unidad. Eso es lo que significa el primorial respecto al factorial. Por cierto, es una función multiplicativa, pero esto se alarga y es mejor dejarlo.