Suma de cuadrados de cifras (5) - Suma de cifras que es cuadrada

Continuamos la serie que venimos publicando sobre la suma de los cuadrados de las cifras de un número. Se inserta a continuación la dirección de la primera, y a partir de ella puedes ir leyendo las siguientes, que no son consecutivas, pues tienen intercalados otros temas:

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/11/suma-de-cuadrados-de-cifras-1-un.html

Esta entrada se aparta un poco de la serie, pues no se refiere a la suma de los cuadrados de las cifras, sino a su suma normal. Esta cuestión es bastante simple por lo que no perderemos mucho tiempo con ella. Se incluye para completar posibilidades. Así que olvidamos los cuadrados por ahora y sumamos cifras simplemente.

Suma de cifras que es cuadrada

Para encontrar soluciones basta establecer una búsqueda exigiendo que sumacifras(n;1) (ver esta función en cualquier entrada de la serie) sea un cuadrado. Estas son las primeras soluciones:

1, 4, 9, 10, 13, 18, 22, 27, 31, 36, 40, 45, 54, 63, 72, 79, 81, 88, 90, 97, 100, 103, 108, 112, 117, 121, 126, 130, 135, 144, 153, 162, 169, 171, 178, 180, 187, 196, 202, 207, 211, 216, 220, 225,…

(Están publicadas en http://oeis.org/A028839)

En esta dirección puedes comprobar la sencillez de la búsqueda con el lenguaje PARI:

(PARI) isok(n) = issquare(sumdigits(n)); \\ Michel Marcus, Oct 30 2014

Es muy sencillo encontrar el máximo cuadrado que se puede obtener según el número de cifras. Bastará considerar los números formados sólo por nueves: 999…99. De esa forma, si k es el número de cifras, deberemos resolver 9k>n² y buscar el máximo valor de n. Así tendremos 9 como máximo para una cifra, 16 para dos (ya que 2*9>16), 25 para tres (3*9>25), y así podríamos seguir.

Propiedades de estos números

En A028839 se incluyen dos propiedades interesantes:

              

Difference between two consecutive terms is never equal to 8. - Carmine Suriano, Mar 31 2014

In this sequence, there is no number of the form 3*k-1. In other words, if a(n) is not divisible by 9, it must be of the form 3*k+1. - Altug Alkan, Apr 08 2016.

Ambas están relacionadas, por lo que demostraremos la segunda y de ella se derivará la primera.

Todos los cuadrados son del tipo 9k o 3k+1.

En efecto, si n=3k, n²=9k², múltiplo de 9. Si n=3k+1, su cuadrado será n²=9k²+6k+1=3q+1, y si n=3k-1, n²=9k²-6k+1=3q+1 luego siempre aparece el tipo 9k o 3k+1.

De aquí se deduce la primera propiedad:

Restamos dos consecutivos. Si ambos son múltiplos de 9, su diferencia será:

9q-9p=9(q-p), que es múltiplo de 9 y por tanto no puede valer 8.

Si ninguno es múltiplo de 9, tendríamos:

3p+1-3q-1=3(p-q), no puede ser 8

Si uno es múltiplo de 9 y otro no, la diferencia será (o en orden contrario)

9p-(3q+1)

En ella podemos suponer que q no es múltiplo de 3, pues si no, sustituiríamos q por 3q. Desarrollamos:

9k-(3q+1)=8=3*3-1 llevaría a 9k-3q-1=3*3-1, luego 9k-3q=3*3, 3(3k-q)=3*3, 3k-q=3, luego q es múltiplo de 3, y en su definición no lo es, pues se simplificaría entre 3.

Por tanto, las diferencias nunca pueden valer 8.