En los cálculos sobre fechas que publico en Twitter
(@connumeros), uso a menudo el desarrollo de números naturales mediante
expresiones del tipo N=a*b+b*c+c*a, a las que llamaré productos cíclicos, dando por supuesto que solo se usarán tres números
enteros positivos a, b y c. No se extenderá el estudio a más sumandos.
Por ejemplo, 16119=69*75+75*76+76*69.
Adelantaremos el hecho de que casi todos los números enteros
admiten este tipo de representación y, en general, con muchas soluciones. Las excepciones
las iremos viendo a lo largo de la entrada.
Primer caso:
1<=c<=b<=a
Según acotemos los sumandos llegaremos a soluciones
distintas. En primer lugar supondremos que 1<=c<=b<=a. Dado que los
tres pueden alcanzar un valor mínimo de 1, no es difícil calcular la cota que
tendría a:
Si es ab+bc+ca=N, entonces a=(N-cb)/(c+b), luego bc<N y
como b>=c>=1, a<(N-bc)/2<=(N-1)/2, que sería el caso en el que
b=c=1.
Podemos recorrer valores de a entre 1 y (N-1)/2, que sería
el caso en el que b y c valieran 1. Y b puede también recorrer desde 1 hasta el valor actual de a. Con esos valores, la tercera
constante c se calculará mediante c=(N-ab)/(a+b)
Estas consideraciones las podemos plasmar en una función que
devuelva todas las descomposiciones de un número en productos cíclicos.
Últimamente, para recoger varias soluciones acudimos a funciones tipo texto
(string), acudiendo a la palabra “NO” cuando no exista descomposición en
producto cíclico.
En este caso usamos la siguiente función:
Public Function prodciclo$(n)
Dim s$
Dim i, j, k
s$ = "" ‘Variable que
recogerá las soluciones
For i = 1 To (n - 1) / 2 ‘Recorrido
de la variable a
j = 1
While j <= i And j < n / i ‘Recorrido
de b
k = (n - i * j) / (i + j) ‘Se
calcula la tercera variable c
If k = Int(k) And k <= j Then s$ = s$ +
Str$(i) + Str$(j) + Str$(k) + "
" ‘Se incorpora otra solución
‘k tiene que entero y menor o igual que j
j = j + 1
Wend
Next i
If s$ <> "" Then prodciclo =
s$ Else prodciclo = "NO"
End Function
Números que no admiten un producto cíclico
Al construir una búsqueda con esta función nos llevamos la
sorpresa de que los números que no
admiten producto cíclico solo son estos:
1, 2, 4, 6, 10, 13, 18, 22, 25, 30, 42, 58, 70, 78, 102,
130, 190, 210, 330, 462
Se puede aceptar la conjetura de que no hay más números con
esa característica, ya que al ir aplicando la función a números grandes,
aumenta mucho el número de soluciones. Por ejemplo, 21823 admite las soluciones
para a, b y c:
89 87 80 111 83
65 113 75 71 117 76 67
119 89 54 121 91 51 125 123 26
137 99 35 139 139 9 145 63 61
146 95 33 147 97 31 153 104 23
159 97 25 163 100 21 167 72 41
169 99 19 175 123 1 185 63 41
186 67 37 187 61 42 193 91 15
197 89 15 200 93 11 213 83 14
217 75 19 219 67 25 221 71
21 225 58 31 226 45 43
231 65 23 232 67 21 233 51 35
247 87 1 287 65 9 293 51 20
297 71 2 309 35 32 325 33 31
340 63 1 343 36 25 351 61 1
357 40 19 401 38 15 409 37 15
411 41 11 453 28 19 463 25 21
485 23 21 495 43 1 501 35 8
583 28 9 674 17 15 681 31 1
703 30 1 833 15 11 947 21 2
991 21 1 1360 9 7 1363 15 1
1677 11 2 1983 10 1 2726 5 3
2727 7 1 5455 3 1
Vemos que en esta variante se admite el 1 como factor en el
producto.
Con PARI también puedes detectar los números que no admiten estos
productos cíclicos. Su código imita la función anterior, pero usa números como
resultado en lugar de textos.
for(n=1,2000,a=0;for(i=1,(n-1)/2,j=1;while(j<=i&&i*j<n&&a==0,b=n-i*j;if(b%(i+j)==0,k=b/(i+j);if(k<=j,a=1));j+=1));if(a==0,print1(n,",
")))
Resultado
Estos números están publicados en OEIS (http://oeis.org/A025052)
A025052 Numbers not of
form ab + bc + ca for 1<=a<=b<=c (probably the list is complete).
1, 2, 4, 6, 10, 18,
22, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462
According to Borwein
and Choi, if the Generalized Riemann Hypothesis is true, then this sequence has
no larger terms, otherwise there may be one term greater than 10^11.
T. D. Noe hace notar que en esta sucesión, n+1 es primo. Lo
puedes comprobar fácilmente.
Segundo caso:
1<c<b<a
Si restringimos los valores a que sean desiguales y mayores
que 1, tampoco es infinita la sucesión de números enteros positivos que no
admiten esta representación. De hecho, 1848 es el mayor entre ellos.
Cambiando adecuadamente el código de la función, obtenemos
su listado:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35, 37, 40, 42, 43, 45, 48,
57, 58, 60, 67, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 163, 165,
168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462,
520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.
Se comprueba con PARI:
Se puede usar un código similar al siguiente:
for(n=1,6000,a=0;for(i=2,(n-4)/4,j=2;while(j<i&&i*j<n&&a==0,b=n-i*j;if(b%(i+j)==0,k=b/(i+j);if(k<j,a=1));j+=1));if(a==0,print1(n,",
")))
Estos números están publicados como los números idóneos de Euler en http://oeis.org/A000926
La definición de Euler la tienes en
Sobrepasa nuestra capacidad teórica y los objetivos de este
blog demostrar la equivalencia entre ambas definiciones. Si lees los
comentarios de la sucesión A000926 de OEIS podrás recorrer las diversas
definiciones equivalentes y la posibilidad de que la conjetura sea cierta y con
un elemento más.
Casos de unicidad
Son también interesantes los casos en los que solo existe
una solución. Para investigarlos habrá que cambiar nuestra función PRODCICLO
para que cuente soluciones y sólo nos devuelva un resultado cuando sea único. No lo desarrollamos.
Es fácil realizar este cambio.
Se pueden plantear varios casos:
1<=a<=b<=c
Están publicados en http://oeis.org/A093670
La sucesión está acotada en el número 142 (conjetura).
3, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 25, 28, 34, 37, 46, 82, 142
Reproducimos los productos cíclicos mediante nuestra función
PRODCICLO
0 < a < b <
c
También están publicados los números que presentan un solo
producto cíclico de ese tipo:
11, 14, 17, 19, 20, 27, 32, 34, 36, 43, 46, 49, 52, 64, 67,
73, 82, 97, 100, 142, 148, 163, 193
También aquí podemos conjeturar que 193 es una cota. El
desarrollo de sus productos es el siguiente:
1<a<b<c
Terminamos con el caso, bastante razonable, de que los
factores sean mayores que la unidad y distintos. El listado es un poco largo,
por lo que solo se insertan los últimos resultados (conjetura):
Es razonable pensar que 883 es el máximo valor posible en
este caso, al menos entre números accesibles a una hoja de cálculo.
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