Otros números piramidales centrados
Hexagonales
Con estos números, como veremos, el inicio del estudio seguirá un camino más simple:
Partimos de los poligonales hexagonales centrados:
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997
(http://oeis.org/A003215
Y
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html)
En esta entrada nuestra incluimos su expresión, que es una diferencia de cubos consecutivos
Por tanto, si para construir los piramidales debemos ir formando las sumas parciales, resultarán cubos. En efecto:
1, 1+7=8, 1+7+19=27, 1+7+19+37=64
Luego la sucesión será:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167,…
En el boceto siguiente está representado el número 27, que a su vez contiene el 7 y el 1, en sus tres capas, luego 27=1+1+6+1+6+12
Los términos de la sucesión claramente son cubos. No hay que usar interpolador para verlo. Si también acudimos a la fórmula de Deza lo comprobaremos, para n=6
Así que estos números, además de ser piramidales centrados, representarán una figura cúbica. Aclara mucho la equivalencia si vas tomando grupos de tres unidades en la imagen anterior y te los imaginas alineados en una trama cúbica:
Al coincidir estos números con los cubos, todas sus propiedades se desprenderán de ese carácter, lo que les quita interés.
Suma de grupos de impares consecutivos
Añadimos esta propiedad porque se puede interpretar como un número trapezoidal. Cada número heptagonal centrado equivale a la suma de uno de estos grupos:
{1}, {3, 5},{7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19},…
1=1
8=3+5
27=7+9+11
64=13+15+17+19
Las sumas se pueden representar mediante trapecios. Por ejemplo, la última formaría esta imagen:
Para comprobarlo algebraicamente, usaremos, como en casos anteriores, los números triangulares. Sabemos que la suma de impares equivale al cuadrado de su número, pero estos grupos se han ido eligiendo siguiendo los triangulares, por lo que su valor coincidirá con la diferencia de cuadrados de dos triangulares consecutivos. Así:
Heptagonales
Partimos de los poligonales centrados de siete lados
1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197,… http://oeis.org/A069099
Acumulamos:
1, 1+8=9, 9+22=31, 31+43=74,…y obtenemos:
1, 9, 31, 74, 145, 251, 399,…
Están publicados en http://oeis.org/A004126
Su expresión es fácil de obtener con la fórmula de Deza:
Propiedades
Como suma de triangulares
Casi todos los números figurados presentan relaciones sencillas con los números triangulares. En este caso es:
El piramidal heptagonal centrado de orden n equivale a la suma de n triangulares comenzando por T(n)
Por ejemplo:
31=6+10+15
74=10+15+21+28
Para el caso n basta recordar que la suma de los primeros números triangulares equivale a n(n+1)(n+2)/6, luego la suma de sólo cuatro será la diferencia entre la suma de los 2n-1 primeros menos la suma de los n-1 primeros. Lo desarrollamos:
(2n-1)2n(2n+1)/6-(n-1)n(n+1)/6
Simplificando en Wolfran-Alpha:
Obtenemos:
Coincide con la expresión obtenida más arriba, luego la propiedad es verdadera.
Fórmula combinatoria
La propiedad anterior se puede expresar así:
Octogonales
Los poligonales octogonales centrados, que no llegamos a estudiarlos en este blog, equivalen a los cuadrados de los números impares, como puedes ver en OEIS:
También los puedes recorrer con nuestra calculadora Calcupol
(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados)
Eliges el tipo Centrado de orden 8
Escribes un 1 en pantalla y vas pulsando la tecla PROX, con lo que aparecerán en pantalla los cuadrados de los impares.
Acumulamos esos cuadrados mediante sumas parciales
1+9=10
1+9+25=35
1+9+25+49=84
Obtendremos la sucesión
1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770, 9139, 10660, 12341,…(http://oeis.org/A000447)
Estos serán los piramidales octogonales centrados.
De la fórmula de Deza se deduce:
También se puede escribir como
Se puede comprobar:
PIRC8(3)=3*5*7/3=35; PIRC8(4)=4*7*9/3=84
Coincidencia con tetraedros
Si aplicamos la fórmula obtenida a los números impares nos resultará:
Los números combinatorios de orden 3 coinciden con los piramidales triangulares o tetraedros.
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html
Así que estos estos octogonales que estamos estudiando coinciden con los tetraedros en los lugares impares:
Piramidales octogonales centrados:
1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770,…
Piramidales triangulares:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925,…
Cada dos de estos coinciden con los de arriba.
Este tema se ha alargado mucho. Es el momento de cortar y dejar el resto para investigar.
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