Esta es la cuarta entrada que dedicamos a los números piramidales. Puedes consultar las anteriores mediante la etiqueta "Números figurados".
Hoy desarrollaremos los piramidales pentagonales, que se forman añadiendo a la unidad (el vértice de la pirámide) distintos números pentagonales como si fueran cortes poligonales de la pirámide. Para nosotros es preferible ver los piramidales como suma de pentagonales sucesivos. Así, si estos forman la sucesión 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145,… http://oeis.org/A000326, los piramidales correspondientes coincidirán con sus sumas parciales: 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196,…
Los primeros piramidales pentagonales son:
1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125, 9126, 10206, 11368, 12615, 13950, 15376, 16896, 18513, 20230, 22050, 23976, 26011, 28158, 30420, 32800, 35301, 37926, 40678,…
http://oeis.org/A002411
Al igual que en entradas anteriores sobre el mismo tema, puedes usar nuestra calculadora calcupol para recorrerlos. Descárgala, si lo deseas, desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados
Para recorrer la sucesión basta fijar el tipo en Piramidal y el orden en 5. Después se escribe un 1 en pantalla y cada pulsación de la tecla PROX nos devolverá un térmiuno nuevo de la sucesión.
En la imagen hemos llegado a 405:
Con la tecla ANT puedes retroceder, y entre ambas recorrer el rango de términos que desees.
Fórmula
Los números piramidales pentagonales (PPENT) siguen una expresión polinómica muy sencilla:
Esta fórmula se obtiene particularizando para 5 la general de los piramidales:
Por tanto, podemos afirmar que los piramidales pentagonales son los promedios entre el cuadrado y el cubo de un número. Por ejemplo:
405 es el piramidal pentagonal número 9, y se cumple que 405=(81+729)/2=810/2=405
Esto nos permite crear una tabla a partir de la sucesión de números naturales:
También la fórmula obtenida descubre que una pirámide pentagonal de lado k equivale a k veces el triangular del mismo lado. Por ejemplo, la pirámide de lado 6, 126, es seis veces mayor que 21, que es el triangular número 6.
Otra interpretación
El número piramidal pentagonal PPENT(n) equivale a la suma de los n+1 múltiplos menores de n. En efecto, esos múltiplos serán n*0, n*1, n*2,…n*n, y formarán progresión aritmética de diferencia n, luego su suma será (n*0+n*n)*(n+1)/2 = (n^3+n^2)/2, que es la expresión descubierta más arriba. Aquí tienes el esquema para PPENT(7)=196
Expresado como sumatorio:
Recurrencia
Estos números presentan tantas formas de generación que el procedimiento recurrente no es muy necesario. No obstante, existen varias fórmulas de recurrencia. La más simple es
ppent(n) = 3*ppent(n-1) - 3*ppent(n-2) + ppent(n-3) + 3.
Es una recurrencia de tercer orden no homogénea. Se puede demostrar con un simple desarrollo algebraico, si recordamos que ppent(n)=(n^3+n^2)/2.
Desarrollamos:
Ppent(n)=3((n-1)^3+(n-1)^2)/2-3((n-2)^3+(n-2)^2)/2+((n-3)^3+(n-3)^2)/2+3
Si nos da pereza simplificar, podemos acudir a Wiris, wxMaxima u otro similar. Usamos el segundo y obtenemos:
Como el resultado es (n^3+n^2)/2, hemos demostrado la recurrencia. No es muy útil.
Cuestiones combinatorias
Es muy ilustrativo el estudio de algunas relaciones entre temas propios de números enteros con otros combinatorios. Muchas sucesiones poseen sentidos bastante simples si las estudiamos desde ese punto de vista. Los piramidales pentagonales también las admiten.
Bolas y cajas
Imagina que disponemos de n bolas que deseamos guardar en n cajas, pero con la caprichosa condición de que solo usaremos 2 de ellas, dejando vacías las demás. En ese caso, el número de formas de guardar esas bolas es PPENT(n-1)
Así que decidimos usar solamente dos cajas. En la imagen nos hemos decidido por la 3 y la 6:
Nos comprometemos a guardar las n bolas en esas dos cajas. Es evidente que tenemos n-1 posibilidades, si no deseamos que una quede vacía: 1+(n-1), 2+(n-2), 3+(n-3), …(n-1)+1
Por otra parte, la elección de las cajas, que en nuestro ejemplo eran la 3 y la 6, se puede efectuar de C(n,2) formas, combinaciones de n cajas tomadas de 2 en 2, es decir n(n-1)/2
Multiplicamos las formas de elegir dos cajas por las de rellenarlas, y tenemos:
P= n(n-1)/2*(n-1)=(n^3-2n^2+n)/2
Esta expresión coincide con PPENT(n-1)=((n-1)^3+(n-1)^2)/2=(n^3-2n^2+n)/2
Cadenas de caracteres
En esta cuestión imaginamos que formamos todas las palabras posibles de tres caracteres en un alfabeto de n caracteres, y consideramos iguales entre sí aquellas palabras que contienen los mismos caracteres, pero invertidos.
Por ejemplo, supongamos las cinco letras A, B, C, D, E agrupadas en palabras de tres AAA, ABC, CBD,… y consideramos idénticas las inversas entre sí, como CBD, que la considaremos equivalente a DBC.
Con estas condiciones, el número de palabras con un alfabeto de n caracteres será PPENT(n).
Tampoco es difícil de razonar: El número total de palabras será n*n*n, pero estas se dividen en dos grupos:
- Simétricas (capicúas o palindrómicas) que se contarán una vez. Su número es n*n=n^2 (el tercer elemento está obligado)
- No simétricas, cuyo número se ha dividir entre 2 para eliminar las palabras simétricas entre sí. Como su número es (n*n*n-n*n), al dividir entre 2 quedará (n*n*n-n*n)/2=n^2(n-1)/2
Sumamos ambos casos:
P=n^2+n^2(n-1)/2 = n^2(2+n-1)/2 = n^2(n+1)/2 = (n^3+n^2)/2=PPENT(n)
Así hemos demostrado la equivalencia. Lo vemos con el caso n=5:
Con un alfabeto de 5 caracteres se forman 5*5*5=125 palabras, de las que 5*5=25 son capicúas, y 125-25=100, no capicúas. Estas segundas hay que contarlas una vez, luego dividimos entre 2, quedando 50. Sumamos ambos casos y obtenemos 50+25=75, que es el quinto número piramidal pentagonal.
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