http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/03/numeros-piramidales1-definiciones-y.html
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html
Hoy nos dedicaremos al estudio de los números piramidales cuadrangulares, o “pirámides cuadradas”, que se forman al apilar números cuadrados consecutivos.
Puedes hacerte una idea con las imágenes y definiciones
contenidas en Wikipedia
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_piramidal_cuadrado
Los primeros números piramidales cuadrados son:
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, 6930, 7714, 8555, 9455,…
(http://oeis.org/A000330)
Según su definición, cada piramidal cuadrado será equivalente a la suma 1+4+9+16+…, pero se conoce, y es muy popular, la fórmula de la suma de los n primeros cuadrados, que es igual a n*(n+1)*(2*n+1)/6, luego, si llamamos PCUAD(n) al enésimo piramidal cuadrado tendremos:
Si descomponemos 2n+1 en (n+2)+(n-1) resulta
Al igual que un cuadrado se descompone en dos triángulos consecutivos, aquí serían dos tetraedros: Todo número piramidal cuadrado es suma de dos piramidales triangulares consecutivos.
Lo podemos comprobar con nuestra calculadora especializada calcupol, que puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados
Elegimos n=9 y con la calculadora vamos obteniendo:
Secuencia de teclas: 4 PIR 9 =, y nos da el piramidal cuadrado 285
Con la secuencia 3 PIR 9 = obtenemos la pirámide triangular 165, y con 3 PIR 8 =, la anterior, 120, y se verifica que 165+120=285.
Si recordamos que los piramidales triangulares (tetraedros) son suma de triangulares y los piramidales cuadrados suma de cuadrados, en hoja de cálculo queda
Aquí vemos que los números triangulares engendran las pirámides triangulares, que si sumamos por filas, cada dos triangulares forman un cuadrado, y su suma el piramidal pedido. Al final, dos pirámides triangulares consecutivas suman la cuadrangular correspondiente. Merece la pena estudiar con detalle el esquema de cálculo.
Otra forma de generar piramidales cuadrados a partir de los triangulares es el cálculo mediante esta fórmula:
((2n+2)(2n+1)2n)/(6*4)=n(n+1)(2n+1)/6, que es la fórmula usual, según vimos más arriba.
En este tipo de propiedades se basa esta otra generación de piramidales cuadrados (ver http://oeis.org/A000330). Formamos un triángulo como el del esquema, que está construido sobre n=5. Se entiende fácilmente:
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3
1 2
1
Hemos situado un 1 en una base de 2*5-1 elementos, un 2, en la siguiente de 2*5-3, después un 3 2*5-5 veces, y así hasta llegar a un 5. Lo que propone este esquema es que
Se generan así 1, 5 y 14, los primeros piramidales. Para demostarlo para n+1 suponiéndolo correcto para n, bastará considerar, por definición, que los sumandos nuevos al ampliar el esquema de n a n+1 son:
1+(1+2)+(2+3)+(3+4)+(4+5)+…(n+n+1)=1+3+5+7+…2n+1=(n+1)^2, luego si se incrementa en un cuadrado, dará lugar al siguiente piramidal cuadrado, lo que completa la demostración.
Se puede dar otra interpretación a esta fórmula, y es que representa la suma de la función MÍNIMO a todos los pares formados por el conjunto 1..n consigo mismo. Para entenderlo lo construimos para n=5
En el esquema se han situado los mínimos de cada par fila-columna en la celda correspondiente, y hemos reproducido el esquema de más arriba: el 1 se repite 9 veces, el 2, 7 veces, el 3, 5…y así hasta el último 5 que se repite una vez. Coincide, por tanto, con la fórmula explicada. Por eso, en la última fila aparecen los piramidales cuadrados (Enrique Pérez Herrero, Jan 15 2013)
Esta generación la usaremos más adelante.
Curiosidades
Cuadrados que se ven en una cuadrícula.
Un acertijo muy popular consiste en saber ver todos los cuadrados contenidos en una cuadrícula también cuadrada.
Para n=1 se ve 1 cuadrado, para n=2, 5 cuadrados, para n=3, 14, luego son números piramidales cuadrangulares. Lo vemos: En la cuadrícula de la imagen hay 36 cuadrados de una unidad, y de 2 unidades ha de haber 25, ya que se puede duplicar o copiar de cinco formas distintas por filas o por columnas, y así, el de tres unidades se copia 3*3=9 veces, hasta que llegamos al total del que sólo existe una copia, luego S=36+25+16+9+4+1=91, que es la sexta pirámide cuadrangular.
Permutaciones con el tercer elemento mayor o igual
Los números piramidales cuadrados coinciden también con las variaciones de n elementos tomados de 3 en 3 con repetición, considerando tan solo aquellas en las que el tercer elemento es mayor o igual que los anteriores. En efecto, basta descomponer las variaciones binarias en conjuntos según el máximo valor de sus elementos. Lo aclaramos con un ejemplo. Imagina las variaciones binarias de 6 elementos, 36 en total:
A cada una le hemos adosado el máximo valor que presenta. Tenemos 9 con el máximo 5, a las que solo podemos adosar como tercer elemento otro 5. Después vemos 7 con máximo 4, que admiten una ampliación con 2 elementos, el 4 y el 5. Para el 3 como máximo se presentan 5 arreglos y se pueden ampliar con 3, 4 y 5. Resumiendo, los posibles arreglos de tres elementos en los que el tercero sea mayor o igual que los otros vendrán dados por este cálculo:
9*1+7*2+5*3+3*4+1*5=9+14+15+12+5=55=1+4+9+16+25. Nos ha resultado PCUAD(5)
No hay nada sorprendente en esto, ya que hemos reproducido la fórmula que demostramos más arriba:
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius
Basta escribir las condiciones (en el ejemplo para n=5)
Obtendrás 55 para n=5. Puedes ir cambiando xt=1..5 por otro intervalo y obtendrás el número piramidal correspondiente.
Suma de productos de cuadrados
Terminamos la entrada con otra propiedad curiosa, y es que el piramidal PCUAD(n) es la raíz cuadrada de la suma de todos los cuadrados (i*j)^2 en los que tanto i como j recorren los valores 1,2..n. Lo puedes estudiar en este esquema:
En él hemos construido todos los cuadrados y hemos sumado los valores inferiores a cada n en la fila de abajo. Se destaca en color el caso n=5 para que lo sigas mejor. Al extraer la raíz cuadrada en la parte inferior resultan los primeros piramidales cuadrados.
No es difícil razonarlo. Recorre la primera columna de las sumas, por ejemplo la que tiene fondo de color. Sus sumandos 1+4+9+16+25 forman el piramidal cuadrado 55. La segunda equivale a la primera multiplicada por 4, luego su suma será 55*4, y las siguientes 55*9, 55*16 y 55*25. Si sacamos factor común en las sumas resultará 55(1+4+9+16+25)=55*55, luego su raíz cuadrada será el piramidal pedido.
De igual forma se puede razonar que si tomamos productos triples (i*j*k)^3, su raíz cúbica será también igual al piramidal cuadrado correspondiente.
Para terminar, una curiosidad: el único piramidal cuadrado que a su vez es un cuadrado es el 4900.
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