Sumas de cuadrados con diferencias simétricas

Preparando unos cálculos sobre fechas en Twitter, me he encontrado con desarrollos dobles en suma de tres cuadrados, cuyas bases presentan diferencias simétricas en ambas sumas. El primer ejemplo fue el de 6/1/17, que escrita como 6117 se descompone así:

6117=(46-6)^2+46^2+(46+3)^2
6117=(44-3)^2+44^2+(44+6)^2

En las dos sumas las diferencias son las mismas, 3 y 6, pero situadas de forma simétrica.

Tres días más tarde, el 9/1/17, me encontré con que 9117 presentaba una propiedad similar:

9117=(56-6)^2+56^2+(56+3)^2
9117=(54-3)^2+54^2+(54+6)^2

Decidí entonces estudiar esta situación, que no parece darse a menudo. El que estos dos, 6117 y 9117 aparecieran tan seguidos pudo ser una casualidad. Después he visto que se encuentran más de los que creía.

Planteamiento del problema

En esta situación intervienen cuatro parámetros: las diferencias (en el ejemplo 3 y 6), a las que asignaremos las variables a y b, el número total (6117 o 9117 en nuestro ejemplo), al que llamaremos N, y el desplazamiento que existe entre los dos cuadrados centrales de la suma, que representaremos con la letra m. En ambos ejemplos el desplazamiento es de 2 (46-44 o 56-54). Con estos convenios, nuestro problema se puede plantear así:

(x-a)²+x²+(x+b)² = (x+m-b)²+(x+m)²+(x+m+a)²

Se observa enseguida que aquí se pueden simplificar bastantes términos y, en efecto, la ecuación queda así:

(4a-4b+6m)x = m(2b-2a-3m)

Como, según hemos comprobado en los ejemplos, el valor de x no depende del de m, la única solución es que ambos paréntesis sean nulos, lo que nos lleva a que

Esta relación supone dos condiciones:

b-a ha de ser múltiplo de 3, es decir, b=a+3k (en los ejemplos, 3 y 6 la cumplen)

m ha de ser par (en los ejemplos m=2)

Si no lo ves claro con la variable x, aquí lo tienes con dos enteros p y q, p<q, a<b:

(p-a)^2+p^2+(p+b)^2 = (q-b)^2+q^2+(q+a)^2
3q^2-3p^2=-q(2a-2b)+p(2b-2a)
3(p+q)(q-p) = (p+q)(2b-2a)
3(q-p)=2(b-a)

Llegamos a la misma conclusión.

Para fijar mejor el problema suponemos que a<b y que las sumas no contienen sumandos nulos.

Relación de las sumas con N

Volvemos a una de las sumas equivalentes:

(x-a)²+x²+(x+b)² = N

Para valores dados de a y de b, será posible despejar x en la ecuación, y así relacionarla con N. Simultáneamente descubriremos qué condiciones ha de cumplir N para que x sea entero.

Simplificando y despejando x llegamos a

a-b es múltiplo de 3, según vimos anteriormente, luego el radicando será equivalente a 9 veces un cuadrado. Pues ya tenemos la condición que ha de cumplir N:

Representamos por p² un cuadrado adecuado para que se verifique la igualdad.

Si en cada caso particular sustituimos a y b por su valor, podremos saber si N puede presentar o no, una suma con diferencias simétricas.

Volvemos a nuestros ejemplos, en los que a=3, b=6 y m=2. Si sustituimos en la condición anterior nos resulta que

Esto también obliga a que N (en este caso) sea múltiplo de 3.

Hemos aplicado esta condición a los números comprendidos entre 5000 y 10000 y ahí han aparecido nuestros conocidos 6117 y 9117:

De forma simultánea, hemos despejado x, con lo que comprobamos que al 6117 le corresponde el 44, como ya sabíamos, y al 9117 el 54.

No es de extrañar que las soluciones de x hayan resultado consecutivas. En realidad, para cada valor de x podemos encontrar N mediante un polinomio de segundo grado. En el ejemplo sería:

N=(x-3)²+x²+(x+6)² = 3x²+6x+45

Así que para cada par de valores a y b, los valores de N presentan una relación cuadrática con x. Si tomo valores de N más pequeños, para que x comience en 1, y construyo un gráfico, se percibe claramente la relación cuadrática:

Puedes ir comprobando, en otros valores de la tabla, si se cumple la condición encontrada y si x tiene el valor esperado.

Valores de N con esta propiedad

En principio, no todos los números naturales tienen por qué presentar esta equivalencia de sumas. Por ejemplo, 4258 no la posee. ¿Cómo podíamos encontrar los números que admiten esta descomposición para valores adecuados de a, b y m?

La búsqueda de números con la propiedad de simetría se puede basar en recorrer, para cada uno, los valores posibles de a y b, y en lugar de usar m, apoyarnos en los criterios estudiados en párrafos anteriores.

Si consideramos, por ejemplo, que b>a, es claro que b no puede sobrepasar la raíz cuadrada de N, y a, menor que b, de la mitad de esa raíz, ya que ambos se suman. Se podía estudiar una acotación más fuerte, pero esta no nos retrasa mucho. Para cada valor de a y b se estudia si se cumple la condición para N, y después un pequeño ajuste para que las bases de los cuadrados sean todas no negativas.

Hemos creado una función tal que a cada valor de N le hace corresponder la palabra “NO” si no presenta la simetría buscada, o una cadena con los valores de a, b, x y m en caso afirmativo.
Su código es el siguiente:

Public Function essumasim(n) As String
Dim a, b, r, m, p, q, d
Dim es As Boolean
Dim s$

es = False ‘variable que controla si se ha encontrado una solución
a = 1
r = Sqr(n)
s$ = ""
While a <= r / 2 And Not es ‘la variable a no sobrepasa la mitad de la raíz de N
b = a + 1
While b <= Sqr(r ^ 2 - a ^ 2) And Not es ‘acotación para b
q = (3 * n - 2 * a ^ 2 - 2 * b ^ 2 - 2 * a * b) / 9 ‘condición para que exista simetría
If escuad(q) Then
q = (a - b + Sqr(q * 9)) / 3 'valor de x
d = (b - a) * 2 / 3 'desplazamiento
If q + d - b >= 1 Then es = True: m = a: p = b 'evita un sumando negativo o cero
End If
b = b + 1
Wend
a = a + 1
Wend
If es Then essumasim = Str$(m) + ", " + Str$(p) + ", " + Str$(q) + ", " + Str$((p - m) * 2 / 3) Else essumasim = "NO" ‘salida de la función, o un NO o las variables deseadas
End Function

Si aplicamos esta función a los primeros números nos damos cuenta de que existen con simetría más de los esperados. Los primeros son los siguientes (hemos añadido los cuatro parámetros a su derecha).

Los primeros valores con descomposición simétrica de este tipo son:

62, 89, 101, 122, 134, 146, 150, 161, 173, 185, 189, 203, 206, 209, 218, 230, 234, 248, 254, 257, 266, 269, 270, 278, 281, 285, 299, 305, 314, 317, 321, 326, 329, 338, 341, 342, 347, 356, 357, 362, 374, 377, 378, 386, 389, 398, 401, 404, 405, 414, 419, 422, 425, 426, 434, 437, 441, 446, 449, 458, 461, 467, 470, 474, 477, 485, 488, 489, 494, 497,…

Por ejemplo, el 62 presentará las diferencias 1 y 4, un valor central de 3 y un desplazamiento de 2. Lo comprobamos:

(3-1)^2+3^2+(3+4)^2 = 4+9+49 = 62
(5-4)^2+5^2+(5+1)^2 = 1+25+36 = 62

Obtenemos los dos desarrollos con diferencias simétricas, tal como esperábamos.

Los que no aparecen en la tabla, o bien no admiten descomposición en suma de tres cuadrados, como le ocurre al 40, bien las admiten sin simetría o si son simétricas las diferencias, una de ellas es nula.

En el caso del 69 admite dos sumas, pero sus diferencias no son simétricas:

(2-1)^2+2^2+(2+6)^2 = 1+4+64 = 69
(4-2)^2+4^2+(4+3)^2 = 4+16+49 = 69

Otro número, el 114, presenta diferencias simétricas, pero una es nula. Por eso no se incluye en la lista:

114=(7-3)^2+7^2+(7+0)^2
114=(5-0)^2+5^2+(5+3)^2

Versión en PARI

Esta sucesión estaba inédita, y la hemos publicado en OEIS mediante este código en PARI:

is_sym_sum(n)=local(x,e=0,a,b,p);x=1;while(x^2<n\3&&e==0,a=1;while(x^2+(x+a)^2<n&&e==0,z=n-x^2-(x+a)^2; if(issquare(z),z=sqrtint(z);b=z-x-a;if(b>a,p=1;while(p^2<=n/3&&e==0,if(p^2+(p+b)^2+(p+a+b)^2==n,e=1);p+=1)));a+=1);x+=1);e
for(i=1,1000,if(is_sym_sum(i),print1(i,",")))

Sigue a misma metodología organizada de otra forma.

La puedes consultar en la dirección http://oeis.org/A282241

Nos alegra haber podido profundizar en este tema, pues no hemos encontrado un estudio similar.