Esta es la quinta entrada de la serie que dedicamos a estos números de nuestra invención. Si deseas leer las anteriores basta con que señales la etiqueta “Números AROLMAR” en el blog.
Proseguimos en esta entrada el regreso a los números arolmar que emprendimos en las anteriores. En esta nos dedicaremos a estudiar los términos de la sucesión que son semiprimos. Hemos descubierto que son bastante interesantes, ya que dan lugar a propiedades curiosas.
Caso de dos factores primos
En esta sucesión de números arolmar https://oeis.org/A187073 es fácil encontrar los términos que son semiprimos:
21, 33, 57, 69, 85, 93, 129, 133, 145, 177, 205, 213, 217, 237, 249, 253, 265, 309, 393, 417, 445, 469, 489, 493, 505, 517, 553, 565, 573,…
Vemos en el listado que todos se descomponen en dos factores primos distintos (el 1 que les acompaña es el exponente). En ellos la suma de sus dos factores primos es evidente que equivale al doble de otro primo. Consecuencia inmediata es que en estos números la suma de sus factores primos presenta al menos dos soluciones para lo exigido por la conjetura de Goldbach. Por ejemplo, 205=5*41, y 46=5+41=23+23=2*23
Ambos primos han de ser del tipo 4k+3 o del tipo 4k+1, pues si fueran de tipos distintos, su suma sería equivalente a 4k+1+4p+3=4(k+p+1), un múltiplo de 4 que no puede ser doble de un primo. Por ejemplo, en 133=7*19, 7=4*1+3 y 19=4*4+3, y en 445=5*89, 5=4*1+1 y 89=4*22+1, ambos del mismo tipo. Sin embargo, respecto al 6, los factores admiten todas las variantes, como puedes comprobar fácilmente.
Por otra parte, los dos factores de un semiprimo arolmar no pueden ser primos consecutivos, ya que la media de ambos está intercalada entre ellos.
Así que a cada número de esta lista le corresponderá un número primo, la mitad de la suma de sus factores. Esta relación no tiene que ser biyectiva. Por ejemplo, los términos 93, 145 y 253 se corresponden con el 17. Compruébalo con sus factores primos:
93 [3,1][31,1] 17
145 [5,1][29,1] 17
253 [11,1][23,1] 17
Número arolmar correspondiente a un primo
Se puede ver la correspondencia desde el punto de vista opuesto. Podemos tomar un número primo, calcular su doble y descomponerlo en todas las soluciones posibles como suma de primos diferentes. Cada una de ellas, multiplicando ambos primos, producirá un arolmar.
(Ver en el documento de Rafael Parra http://www.hojamat.es/parra/arolmar.pdf la explicación de este proceso con el estudio de varios casos)
Por ejemplo, tomemos el 23. Su doble, 46, se puede descomponer como suma de dos primos diferentes así: 46=3+43=5+41=17+29. Si ahora multiplicamos los dos factores de cada descomposición, nos resultarán tres números arolmar: 129, 205 y 493.
La correspondencia entre números primos y números arolmar semiprimos no es biyectiva.
En el documento de Rafael Parra se consideran todos los casos similares, se descompongan en dos o en más sumandos primos. Ahora nos limitaremos al caso de dos factores.
Número arolmar mínimo y asociados para un primo dado.
Siguiendo las ideas del documento citado de Rafael Parra, si de todos los números arolmar que se corresponden con un primo dado eligiéramos el mínimo (en el ejemplo anterior el 129) sí podríamos establecer la correspondencia biyectiva. Es fácil ver, como sugiere Rafael Parra, que basta elegir el que posea el número primo menor en una descomposición en dos factores, en el ejemplo 129=3*43.
Con un poco de álgebra es fácil demostrarlo: llamemos P a ese factor primo mínimo (será P<N/2) y N al doble del primo dado. El número arolmar generado será entonces P(N-P), mientras que todo otro número de ese tipo tendrá la expresión (P+k)(N-P-k) con 0<P+k<N/2 (si suponemos los factores ordenados). Restamos ambas expresiones:
(P+k)(N-P-k)- P(N-P)= PN-PP-Pk+kN-kP-kk-PN+PP=k(N-P-P-k)=k(N/2-P+N/2-(P+k))>0
Luego (P+k)(N-P-k) es siempre mayor que P(N-P). Si aumentamos el número de factores, el número arolmar correspondiente sería aún mayor, luego este semiprimo con un primo mínimo es el menor posible.
Así que el número arolmar mínimo asociado a cualquier número primo es el que contiene el factor primo menor posible en una descomposición con dos factores. Podemos resumir el proceso mediante este esquema:
Tomamos el primo 73, le calculamos el doble 146, ensayamos sumas de primos para él y nos quedamos con la que presente el menor primo. En este caso 7+139. Multiplicamos ambos y nos resulta 973.
Dado un primo P y su número arolmar asociado R, se tendrá, si sólo posee dos factores, que R=(P+K)(P-K), siendo ambos paréntesis primos, es decir P2-K2 con un K adecuado, siempre par. Por tanto R estará siempre acotado por P2
Rafael Parra ha llamado a estos números mínimos “primos arolmar”, y al resto, no minimales, “asociados”. En la secuencia publicada por él (http://oeis.org/A191683) figuran todas las soluciones para cada primo mayor que 3 y para cada número de sumandos:
21, 33, 57, 69, 93, 105, 129, 177, 195, 213, 217, 237, 249, 265, 309, 393, 417, 445, 465, 483, 489, 565, 573, 597, 633, 645, 669,…
Es evidente que es una subsecuencia de la sucesión A187073. Como nos hemos comprometido en esta entrada a un desarrollo limitado a los semiprimos, seguimos con esa condición. Veremos lo siguiente:
A cada número primo le corresponde un único “primo arolmar” semiprimo
Esto es fácil de entender, pero la característica de ser únicos convierten a estos números en imágenes de una función. Podemos definir PRIMAROL a la función que hace corresponder a cada número primo el semiprimo ya definido.
Un ejemplo:
Elegimos el número primo 103. Su doble, 206, admite estas descomposiciones de dos sumandos primos (recuerda que nos limitamos a este caso, pero podrían ser 3 o más)
7 199 1393
13 193 2509
43 163 7009
67 139 9313
79 127 10033
97 109 10573
Elegimos el mínimo, 1393, y lo definiremos como primarol(103)=1393.
La formación de PRIMAROL queda clara con el esquema incluido más arriba. No está definida ni para el 2 ni para el 3. La razón es que detrás de todo esto está la conjetura de Goldbach. Esta correspondencia biyectiva nos demuestra que los conjuntos de números arolmar y primos arolmar es infinito, hecho que se podía adivinar observando su evolución.
Implementación en una hoja de cálculo
No es difícil implementar esta función en Basic si cuentas con la función ESPRIMO
Public Function primarol(a)
Dim i, p, k, n
Dim novale As Boolean
k = 2: p = 0: n = a * 2
novale = True
While novale And k < n / 2 ‘Buscamos la primera suma de primos
If esprimo(k) And esprimo(n - k) Then
p = k * (n - k) ‘Hemos encontrado la suma. Como sólo queremos el mínimo, paramos.
novale = False ‘Señal de parada
End If
k = k + 1
Wend
primarol = p ‘La función recoge el producto más pequeño
End Function
Esta función no conserva el orden, pues a mayor número primo no le corresponde una imagen también mayor. Por ejemplo, el 217 aparece como imagen de 19 y más adelante el 129 como imagen de 23
La función primarol no es creciente.
Lo puedes comprobar con este gráfico de dispersión:
El máximo que destaca corresponde al primo 1321, cuyo doble 2642 se descompone en la suma 2642=103+2539, que da el semiprimo minimal 261517=103*2539
Estudio con PARI
Para quien tenga una cierta experiencia en el tema, no es difícil traducir el código de primarol a PARI:
primarol(a)={local(k=2,p=0,n=a*2,v=1); while(v>0&&k<n/2, if(isprime(k)&&isprime(n-k),p=k*(n-k);v=0);k+=1);p}
Con esta definición podemos, por ejemplo encontrar la imagen del primer primo de 7 cifras:
Primarol(1000003)=6000009=3*2000003
Relación con ternas de primos en progresión
Es evidente, según lo tratado hasta ahora, que los números arolmar semiprimos se basan en una progresión aritmética formada por una terna de números primos, pues en ese caso el primo central será la media aritmética de los otros dos. Así por ejemplo, 3, 13 y 23 forman el número arolmar semiprimo 3*23=69 y, al contrario, cualquier otro elemento de la sucesión, como 669=3*223, da lugar a la progresión 3, 113, 223. Así que, de paso, hemos comprobado que existen infinitas ternas de primos en progresión aritmética.
Un caso especialmente llamativo es el de los primos equilibrados: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977 (http://oeis.org/A006562)
En ellos los integrantes de la terna son el anterior y posterior primo al central y darán, según consideraciones que hemos visto en párrafos anteriores, el mayor número arolmar correspondiente al primo central. Formamos una tabla:
En ella vemos el rápido crecimiento, por ser maximales los números generados por este procedimiento.
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