Grupos de potencias en Zn (2) - Subgrupos cíclicos.

Subgrupos cíclicos en Zm*

Según la entrada anterior, todo elemento a perteneciente a Z_m* (conjunto de inversibles del grupo multiplicativo Z_m) posee  un orden o gaussiano g(a), que es el mínimo número entero tal que a^gº1. Ese orden siempre es divisor de  la indicatriz de Euler de m, j(m), o igual a ella.

Sabemos que las potencias de un mismo elemento a forman siempre un grupo cíclico < a >. En el caso de un elemento de Z_m* estos grupos tendrán el mismo orden que el elemento que los genera, es decir g(a). En efecto, las potencias a⁰, a¹, a²,…a^g(a)-1 son todas distintas (si dos fueran iguales, al dividirlas resultaría una potencia del elemento igual a la unidad con exponente menor que g(a), en contra de la definición de g(a)). Sus productos pertenecen al conjunto, ya que si sobrepasan a^g(a)  al ser este la unidad, se puede eliminar de dicho producto.

Por ejemplo, con módulo 13, el orden o gaussiano de 5 es 4, luego 5⁰º1 (mod 13, 5¹º, (mod 13, 5²º12º-1 (mod 13 y 5³º8º-5 (mod 13 formarán un subgrupo de Z₁₃. Lo podemos representar así:

 < 5 > = {1, 5, -1, -5}

Así que el concepto de orden de un elemento coincide aquí con el de orden del grupo cíclico que engendra. Este grupo es el más pequeño que contiene ese elemento. Según la teoría general de grupos cíclicos, será abeliano (conmutativo) y único, para un valor dado del orden.

Según los párrafos anteriores, en un subgrupo de potencias de un elemento de gaussiano g, existen  j(g) elementos con el mismo gaussiano, pero como hemos señalado que este grupo es único para ese valor de g, podremos afirmar:

El conjunto de elementos pertenecientes a Z_m* con un gaussiano concreto g tiene un cardinal de  j(g).

Si volvemos al ejemplo concreto del módulo 29 que vimos más arriba, esta sería la descomposición de los elementos de Z₂₉ según su gaussiano. Cada uno de los elementos engendrará un subgrupo de orden idéntico a su gaussiano, y todos los que compartan el mismo valor g de ese gaussiano formarán un subconjunto de j(g) elementos:

Esta tabla es muy útil para repasar lo que hemos explicado hasta ahora:

29 es primo, luego Z₂₉* contendrá 28 elementos inversibles, y poseerán como gaussiano uno de los divisores de 28: 28, 14, 7, 4, 2 y 1. Según lo explicado, cada conjunto de elementos con el mismo gaussiano k tendrá un cardinal de j(k). En la tabla vemos que aparecen 12 elementos con gaussiano 28, y j(28)=12. Luego, tenemos 6 con gaussiano 14 y otros 6 con el valor 7. Finalmente, otros cuatro presentan los gaussianos 4, 2 y 1. Si los sumamos todos, obtenemos 28=j(29), que es el cardinal de Z₂₉*

Con esta tabla hemos comprobado la expresión de 28 en suma de j(28)+j(14)+j(7)+j(4)+ j(2)+j(1), que es un caso de la fórmula general:

Un número entero coincide con la suma de las indicatrices de sus divisores.

Periodicidad de las potencias

Si en lugar de considerar sólo las  potencias de exponente menor que g(a) las estudiamos todas, es evidente que son periódicas, pues a^k+tg(a)=a^k*a^tg(a)=a^k*1=a^k

De paso hemos demostrado que el periodo de las potencias de a es precisamente g(a). Lo puedes comprobar con la hoja de cálculo que usamos en la anterior entrada

(http://www.hojamat.es/sindecimales/congruencias/herramientas/herrcong.htm#gaussiano)

En la tabla figuran las potencias de 5 respecto al módulo 28. El orden de Z₂₈*  es 12 (j(28)), el orden del 5 respecto a 28 es 6 (divisor de 12), y se produce, como puedes comprobar, una periodicidad de periodo 6.

Además, los integrantes de cada ciclo son los elementos del grupo engendrado por el elemento 5: {5, 25, 13, 9, 17, 1} En la anterior entrada descubrimos que cada elemento de este tipo de grupos tiene un gaussiano diferente, como puedes ver en la siguiente tabla:

Todos los gaussianos son divisores de 12 (j(28)).

Subgrupos generados

Ha quedado claro que las potencias de un elemento no tienen que compartir el mismo gaussiano, luego los subgrupos que vamos a recorrer ahora no tienen por qué coincidir con los conjuntos estudiados más arriba. Lo que sí queda claro es que, dentro del subgrupo engendrado por un elemento, pueden aparecer subgrupos formados a partir de una potencia con un gaussiano menor.
Hemos preparado nuestra hoja GAUSSIANO para que dado un resto en Z_n*  encuentre el subgrupo que engendra mediante sus potencias. En la siguiente entrada estudiaremos los elementos que engendran todo Z_n* (raíces primitivas), pero ahora los repasaremos todos. Para entenderlo mejor, estudia esta primera tabla que hemos creado, con módulo 13 y resto 11:

En la primera columna figuran las potencias de 11, que como su gaussiano es 12, posee ese número de elementos. Este es G0, el subgrupo creado por las potencias de 11 en Z₁₃*.

Tal como vimos anteriormente, los elementos de ese grupo no han de tener gaussiano 12. De hecho aparecen todos los divisores de 12: 6, 4, 3, 2 y 1. También vimos que las potencias de cada uno de ellos forman subgrupos del principal. Según la teoría de grupos, estos son únicos para cada orden, aunque se engendren con elementos distintos. Compruébalo:

 G6: Grupo de orden 6: {4, 3, 12, 9, 10, 1} Engendrado en la tabla por 4 y 10.
 G4: Grupo de orden 4: {5, 12, 8, 1} con generadores 5 y 8
 G3: Grupo de orden 3: {3, 9, 1} engendrado por 3 y 9.
 G2: Grupo de orden 2: {12, 1} con generador 12.
 GE: Grupo trivial: {1}

Obsérvese que el número de generadores de cada subgrupo coincide con el valor de su indicatriz de Euler. Así tenemos j(6)= j(4)=j(3)=2 y por eso los primeros subgrupos poseen dos generadores. Sin embargo, como j(2)=1, el penúltimo tiene un solo generador.

Como son grupos de potencias, se cumple que si el gaussiano de a es divisor del de b, el grupo engendrado por a es subgrupo del engendrado por b.

Todas las potencias de 11 pertenecen a un grupo, y algunas a varios.

Para construir estas tablas, busca en GAUSSIANO.XLSM la hoja SUBGRUPO ENGENDRADO  y rellena tan sólo el módulo y el elemento dado. El resto lo construye la hoja. Aquí tienes otro ejemplo, con módulo 15 y elemento 7:

Indicador de un elemento

Dado cualquiera de los subgrupos que estamos estudiando, cualquier elemento de  Z_n* posee una potencia perteneciente a cada uno de ellos. En efecto, dado un subgrupo S, si un elemento a pertenece a él, bastará elevarlo a 1. Si no pertenece, lo elevamos a n para engendrar la unidad, pero hay casos en los que existen otros enteros positivos k<n tales que a^k pertenece a S. Al menor de ellos le llamaremos indicador de a con respecto a S. Hemos visto que puede valer 1 o n. Observa la tabla anterior: el indicador de 5 respecto al subgrupo {11, 9, 1} es 2, porque 5²=11 es la potencia positiva más pequeña que pertenece al subgrupo. Igualmente, el 3 es el indicador respecto a {13, 1}.