Números especiales que son un producto especial (2)

Números triangulares como producto de otros 

En la entrada anterior planteamos el problema de buscar los números triangulares que son a su vez producto de otros dos triangulares. Presentamos una forma de generar cuadrados, oblongos y triangulares de la forma más rápida posible, ya que estas búsquedas se hacen lentas para números grandes, y construimos un algoritmo para generar estos números, contenidos en la sucesión de OEIS https://oeis.org/A188630

En esta entrada generaremos triangulares con otros tipos de números, y llegaremos a sucesiones que permanecían inéditas hasta ahora.

Triangulares producto de dos cuadrados

Aquí no hay que buscar mucho, ya que basta considerar que el número que cumple esto es aquel que es cuadrado (producto de cuadrados) y triangular a la vez. Esto está muy estudiado. Son estos:

1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881,… y está publicados en https://oeis.org/A001110

Vemos, pues, otros casos.

Triangulares que son producto de un triangular y un cuadrado

Ahora tenemos ocasión de aplicar lo expuesto en la entrada anterior: cómo generar de forma rápida cuadrados y triangulares y cómo saber si son o no de ese tipo. Si esto te quedó claro, entenderás el algoritmo que sigue. Primero en Visual Basic de Excel:

Sub productriang()
Dim i, j, k, p, c
i = 3: j = 3 Generamos el primer triangular
While i <= 10 ^ 4
k = 3: p = 3: c = 0 Aquí generamos posibles divisores triangulares
While c = 0 And p < i  Cuando c<>0 se para la búsqueda y se comunica el resultado
If i / k = i \ k And escuad(i / k) And i / k > 1 Then c = k
La línea de arriba investiga si k es divisor y si i/k es cuadrado
If c <> 0 Then MsgBox (i)
k = k + p: p = p + 1  Genera el siguiente posible divisor triangular
Wend
i = i + j: j = j + 1  Genera el siguiente triangular para seguir buscando
Wend
End Sub

Si repasas la entrada anterior, es el mismo algoritmo propuesto en ella, pero cambiando estriangular(i/k) por escuad(i/k). Puedes repasar los comentarios que se incluían. Con un ligero cambio en el código, hemos situado los resultados en columna:

A partir de este valor se produce desbordamiento, por lo que acudimos a PARI y al código

{i=3;j=3;
while(i<=10^6,k=3;p=3;c=0;
while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&issquare(i/k)&&i/k>1,c=k);
if(c>0,print1(i,", "));
k+=p;p+=1);
i+=j;j+=1)
}
No insertamos comentarios porque es el mismo que presentamos en la entrada anterior, salvo el uso de la función issquare (“es cuadrado”)

Con él puedes obtener los primeros números triangulares que son producto de un triangular y un cuadrado:

300, 1176, 3240, 7260, 14196, 25200, 29403, 41616, 64980, 97020, 139656, 195000, 228150, 265356, 353220, 461280, 592416, 749700, 936396, 1043290, 1155960, 1412040, 1708476, 2049300, 2438736, 2881200, 3381300, 3499335, 3943836, 4573800,…

Esta sucesión no se había publicado, y lo hicimos en http://oeis.org/A253650

Si los escribimos en columna podemos desarrollarlos como producto del tipo deseado:

Antes de seguir adelante, hay que advertir que estas descomposiciones en producto no tienen que ser únicas. Por ejemplo, 2881200 admite estos dos productos: 3*960400 y 300*9604, ambos formados por un triangular y un cuadrado. Por eso en la tabla se puede tener la falsa idea de que el factor triangular es más pequeño que el cuadrado. No es así, sino que hemos detenido la búsqueda al encontrar un ejemplo.

Una curiosidad

Los números triangulares de esta sucesión, tendrán, como todos la forma T(P)=P(P+1)/2. Pues bien, ni P ni P+1 pueden ser primos, porque si se descompone en un producto de un triangular y un cuadrado, tendríamos P(P+1)=k(k+1)m² y si P o P+1 fueran primos, tendrían que dividir a k o a k+1 o a m, y los tres son menores que P. Estúdialo. Lo vemos en una tabla con los primeros casos:

Subconjunto interesante

Los números triangulares de orden k²-1, siendo k impar y mayor que 1, pertenecen a esta sucesión. En efecto, si k es impar tendrá la forma 2m+1, luego el orden del triangular será

 (2m+1)²-1=4m²+4m.

El triangular formado sobre él tendrá la forma (((2m+1)²*(4m²+4m)/2 y se puede descomponer en un cuadrado y un triangular: 4((2m+1)² * m(m+1)/2.

Otra forma de expresarlo es que son triangulares construidos sobre 8 veces otro número triangular, ya que 4m²+4m=8*(m(m+1)/2). Estos números los tienes en http://oeis.org/A185096

Casi todos los elementos de la sucesión tienen esta forma: 300, 1176, 3240, 7260, 14196, 25200,… y pertenecen a la sucesión http://oeis.org/A083374 pero otros no, como 29403, 1043290 y 3499335.

Triangulares que son producto de un triangular y un primo

En esta búsqueda nos organizaremos de forma similar a la precedente pero al llegar a investigar si (i/k) es cuadrado o triangular, deberemos sustituirlo por la pregunta de si es primo. Esta es más difícil de responder, pero disponemos de la función isprime en PARI y de esprimo en nuestra hoja Conjeturas (http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#global)

Puedes adaptar el algoritmo usado en la búsqueda anterior cambiando esas funciones: Observa que ahora, con lo explicado antes, las operaciones se entienden mejor, por lo que omitimos los comentarios y usamos color rojo en las novedades. Para hoja de cálculo podría servir esta rutina de Visual Basic:

Sub productriang()
Dim i, j, k, p, c


i = 3: j = 3
While i <= 10 ^ 3
k = 3: p = 3: c = 0
While c = 0 And p < i
If i / k = i \ k And esprimo(i / k) And i / k > 1 Then c = k
If c <> 0 Then MsgBox (i)
k = k + p: p = p + 1
Wend
i = i + j: j = j + 1
Wend
End Sub

En PARI

{i=3;j=3;while(i<=10^6,k=3;p=3;c=0;while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&isprime(i/k)&&i/k>1,c=k);if(c>0,print1(i,", "));k+=p;p+=1);i+=j;j+=1)}

Los triangulares obtenidos son, en este caso, los siguientes:

6, 15, 21, 45, 66, 78, 105, 190, 210, 231, 435, 465, 630, 861, 903, 1035, 1326, 2415, 2556, 2628, 3003, 3570, 4005, 4950, 5460, 5565, 5995, 7140, 8646, 8778, 9870, 12246, 16471, 16836, 17205, 17391, 17766, 20100, 22155, 26565, 26796, 28680, 28920, 30381, 32131, 33411, 33930, 36856, 40755,… (los publicamos en http://oeis.org/A253651)

Podíamos pensar que, al ser el segundo factor primo, el primero será el máximo divisor triangular propio que tiene el número que se descompone
 (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/02/de-los-triangulares-alojados-los-primos.html).

Esto es así en la gran mayoría de casos. Así, 4005 se descompone como 45*89, siendo 45 es el máximo divisor triangular propio de 4005 y 89 un factor primo. Sin embargo, en el número 3570, su divisor triangular máximo es 595, que daría lugar al producto 3570=595*6, y el 6 no es primo. El producto válido sería 3570=210*17, que sí es primo.

Triangulares producto de triangular y oblongo

Estos son los primeros:

6, 36, 120, 210, 300, 630, 1176, 2016, 3240, 3570, 4950, 7140, 7260, 10296, 14196, 19110, 23436, 25200, 32640, 39060, 41616, 52326, 61776, 64980, 79800, 97020, 116886, 139656, 145530, 165600, 195000, 228150, 242556, 265356, 304590, 306936, 349866, 353220, 404550, 426426, …

Si recuerdas la caracterización de los oblongos en la entrada anterior, entenderás este código en PARI:

{i=3;j=3;
while(i<=10^6,k=2;p=4;c=0;
while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&issquare(4*(i/k)+1)&&i/k>1,c=k);
if(c>0,write1("final.txt",i,", "));
k+=p;p+=2);
i+=j;j+=1)
}

Destacamos que el doble de cualquiera de estos números tiene la forma N=P(P+1)Q(Q+1).  Así, 2*2016=4032=7*8*8*9. Al contrario, como uno de los factores es oblongo, el producto será par y se podrá dividir entre dos y su mitad será producto de dos triangulares.

Todos los términos no nulos de la sucesión A083374 (6, 36, 120, 300, 630, 1176, 2016, 3240,…) pertenecen a esta, pues si tienen la forma n²(n²-1)/2 se pueden descomponer en el oblongo n(n+1) y el triangular n(n-1)/2, o bien el oblongo n(n-1) y el triangular n(n+1)/2.

Hemos publicado esta sucesión en http://oeis.org/A253652

Triangulares producto de un cuadrado y un primo

Al llegar a este punto simplificamos la exposición, ya que tendrás una buena idea de cómo se generan. Los triangulares que se forman multiplicando un cuadrado y un primo son estos:

28, 45, 153, 171, 300, 325, 496, 2556, 2628, 3321, 4753, 4851, 7381, 8128, 13203, 19900, 25200, 25425, 29161, 29403, 56953, 64980, 65341, 101025, 166753, 195625, 209628, 320400, 354061, 388521, 389403, 468028, 662976, 664128, 749700, 750925, 780625, 781875, 936396,…

Los números perfectos lo cumplen

Entre los números encontrados figuran los perfectos 28, 496, 8128,… https://oeis.org/A000396
La razón es que estos números tienen la forma 2^k-1(2^k-1)= 2^k(2^k-1)/2, y son, por tanto, triangulares. Además, como (2^k-1) es primo de Mersenne en esta expresión, k ha de ser impar, y k-1, par, con lo que 2^k-1 es un cuadrado y (2^k-1) un primo, cumpliéndose así la condición.

Para no cansar más con este tema, sólo incluimos el código PARI con las novedades en rojo:

PARI
{i=3;j=3;
while(i<=10^6,k=4;p=5;c=0;
while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&isprime(i/k)&&i/k>1,c=k);
if(c>0,write1("final.txt",i,", "));
k+=p;p+=2);
i+=j;j+=1)
}

Pues ya está bien. Ahora te toca a ti. ¿Sabrías prolongar las siguientes sucesiones con las técnicas que hemos desarrollado en las dos entradas?:

Triangulares producto de un cuadrado y un oblongo: 120, 300, 378, 528, 990, 1176, 2016,…

Y por último, los triangulares producto de un oblongo y un primo: 6, 10, 36, 66, 78, 210, 276, …