Propiedades de los restos cuadráticos

Usaremos en los desarrollos el símbolo de Legendre ya explicado en la entrada anterior, Recuerda que la actual entrada es parte de un ciclo de tres.

El criterio de Euler da lugar a propiedades interesantes de los restos cuadráticos respecto a ciertos tipos de primos. Los vemos:

 -1 es un resto para todos los primos del tipo 4N+1 y no resto para los del tipo 4n+3

Es una consecuencia del criterio de Euler, pues (p-1)/2 sería par en el primer caso, e impar en el segundo, luego al elevar -1 a esa cantidad producirá un 1 (ser resto) para p=4N+1 y -1 (no resto) en el otro caso.

Esto quiere decir que la ecuación x² + 1 º 0 (mod p) tiene solución para p=4N+1 y no la tiene en el segundo caso. Podemos expresarlo también como que 1 posee una raíz cuadrada entre las clases de restos módulo p

Podemos diseñar un pequeño esquema con la hoja de cálculo que usamos en esta serie:

 En la celda del 11 hemos escrito =RESTOCUAD(-1;61). Como este módulo es del tipo 4N+1, obtenemos la solución 11, ya que 11*11 módulo 61 es igual a 60, es decir, la clase de restos -1
Si hubiéramos usado módulo 11, que es del tipo 4N+3. Obtendríamos un cero, que es la señal de que -1 no es resto cuadrático:

Esta propiedad se puede expresar así:

2 es resto cuadrático para todos los primos del tipo 8N+1 y 8N+7, y no resto para los demás

También podemos, en nuestra hoja de cálculo, crear un esquema para comprobar esta propiedad siguiendo la estructura que usamos en la anterior.

Vemos que 11 no pertenece al tipo 8N+1 ni al 8N+7, y para el 2 no devuelve raíz cuadrada (el cero es una señal)

Sin embargo, al usar el módulo 31, que es del tipo 8N+7, el 2 presenta raíz cuadrada 8, y es resto cuadrático.

No es sencilla la demostración. Tienes una en Fundamentos de la Teoría de los números de Vinogradov.

Encontrarás propiedades similares para el -3 y el 5 en el documento de Rafael Parra “Restos cuadráticos y Ley de reciprocidad cuadrática”(http://www.hojamat.es/parra/restocuad.pdf). Las puedes comprobar con el esquema propuesto, sustituyendo el 2 por otros valores.

Ley de reciprocidad cuadrática

La propiedad más importante de estos restos es la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada y demostrada por Gauss en 1801 en su libro Disquisitones Arithmeticae. Con palabras la podemos expresar así:

Dados dos primos impares p y q, si ambos pertenecen al tipo 4k+3, entonces p es resto cuadrático módulo q si y sólo si q no lo es de p. Si alguno de los primos pertenece al tipo 4k+1 entonces o bien ambos son restos uno del otro, o bien ninguno lo es.

Expresada así o de forma similar la propiedad resulta oscura. Sin embargo su significado queda claro con el uso de los símbolos de Legendre. En ese caso la propiedad se reduce a esta identidad:

Así se explica mejor: Si uno de los dos, p o q, es del tipo 4k+1, el exponente del -1 será par y el segundo miembro valdrá 1, con los que los símbolos del primero serán ambos iguales a 1 (restos recíprocos) o bien -1 (ninguno es resto).

Si ambos son del tipo 4k+3 el exponente será impar, el segundo miembro -1 y los símbolos tendrán signo opuesto: Si uno de los primos es resto del otro, no se dará la reciprocidad.

En textos y documentos varios dispones de ejercicios sencillos que muestran la utilidad de esta propiedad. Nosotros la hemos incluido en nuestra hoja de cálculo (http://www.hojamat.es/sindecimales/congruencias/herramientas/herrcong.htm#restocuad)

Al escribir los dos primos la hoja analiza si son del tipo 4N+3 o 4N+1, calcula después los restos y comprueba la propiedad.

Como se trabaja con valores 1 y -1, algunos manuales expresan esta propiedad mediante esta otra identidad equivalente:

Así se ve mejor cómo calcular un valor de (p/q) si se conoce el de (q/p). Como hemos afirmado más arriba, no entra dentro de los objetivos de esta entrada pasar a ese tipo de cálculos.