Entre dos cuadrados consecutivos n2 y (n+1)2 existe siempre un número primo.
Se vio también una formulación alternativa:
Si usamos la función p, que da la distribución de los números primos (p(200) equivaldría a los primos que existen menores o iguales a 200), la conjetura de Legendre se podría expresar así:
Lo que no incluimos en esa entrada es que si n es un número primo mayor que 2, y estudiamos su cuadrado y el de su siguiente primo, entre ellos no existirá al menos un número primo, sino dos, porque entre los dos cuadrados existirá (salvo el caso de 2 y 3) otro cuadrado intermedio.
Resumiendo:
Para n>1, si representamos como p(n) al enésimo número primo, se verificará que entre p(n)2 y p(n+1)2 existirán al menos dos números primos.
Pues bien, Brocard propuso una conjetura más fuerte:
Conjetura de Brocard
Para n>1, si representamos como p(n) al enésimo número primo, se verificará que entre p(n)2 y p(n+1)2 existirán al menos cuatro números primos.
Podemos construir un modelo de hoja de cálculo para verificar esta conjetura para un número primo cualquiera. Usamos conjeturas.xlsm
(http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)
como en las entradas anteriores.
Elegimos un primo (en el ejemplo 2851) y con la función PRIMPROX le encontramos el siguiente debajo (2857). Mediante una fórmula condicional similar a “=SI(esprimo(F10);"Sí es primo";"No es primo")” comprobamos que efectivamente ambos son primos. A la derecha les calculamos sus cuadrados.
Para encontrar los cuatro primos comprendidos entre los cuadrados usamos de nuevo PRIMPROX. El primer primo de arriba será el PRIMPROX del primer cuadrado y los tres restantes serán los próximos primos de los de arriba.
Si el cuarto primo es menor que el segundo cuadrado (8128249<8162449), la conjetura queda comprobada para ese ejemplo. En caso contrario, corre a publicar el contraejemplo, que conseguirás la fama.
Como ocurría con la conjetura de Legendre, en la práctica no sólo existen cuatro primos, sino más. Los tienes publicados en http://oeis.org/A050216. Ahí verás que para n>1 los primos comprendidos son todos mayores que 4: 5, 6, 15, 9, 22, 11, 27, 47, 16, 57, 44, 20, 46, 80, 78, 32, 90, 66, 30, 106,…
Otras posibles situaciones
Nada nos impide plantear cuántos primos existen comprendidos entre dos elementos de cualquier sucesión creciente. Lo hemos estudiado entre cuadrados (Legendre) y entre cuadrados de primos (Brocard). Podíamos verlos entre triangulares consecutivos, por ejemplo. Este caso ya está estudiado y lo puedes consultar en http://oeis.org/A066888
Basta ver la sucesión para entender que se ha conjeturado que siempre existe al menos un número primo entre dos triangulares consecutivos para n>0: 0, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 4,…
Si recuerdas que la fórmula de un número triangular es n(n+1)/2, con ella y el uso de PRIMPROX podrás reproducir este esquema en hoja de cálculo:
De igual forma se pueden contar los comprendidos entre números oblongos (dobles de triangulares) consecutivos, n(n-1) y n(n+1) Los tienes en http://oeis.org/A108309 y parece lógico conjeturar que siempre existen dos primos entre cada par.
Otras sucesiones se pueden considerar, pero para que tengan interés es conveniente que las diferencias entre cada dos términos consecutivos no crezcan demasiado, lo que facilitaría la presencia de primos intermedios y quitaría interés a la cuestión. Sería el caso, por ejemplo, de las potencias de un número.
Se ha visto la cuestión con semiprimos en http://oeis.org/A088700 y con los términos de la sucesión de Fibonacci (http://oeis.org/A076777) y con seguridad en otros casos que no hemos buscado.
En este blog queremos aportar también nuestra particular sucesión con primos comprendidos. Probamos con los números poderosos
Primos entre poderosos
Llamamos número poderoso a aquél en el que todos sus factores primos presentan un exponente mayor que la unidad en la correspondiente descomposición factorial. Son poderosos 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169,… http://oeis.org/A001694 En ellos, si un p primo divide a N, también lo divide su cuadrado, por lo que ninguno de ellos es libre de cuadrados. En virtud de esa definición se ha incluido el 1 en el listado. Por su forma de crecer parecen idóneos para contar primos entre ellos. Lo hemos hecho con este resultado:
Vemos que, por ejemplo, entre 100 y 108 se intercalan tres primos: 101, 103 y 107.
Si escribimos el listado de todas las diferencias observaremos la irregularidad de su distribución
2, 2, 0, 2, 3, 0, 2, 0, 4, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 0, 1, 3, 5, 5, 2, 1, 1, 5, 1, 7, 0, 5, 2, 4, 5, 1, 5, 2, 7, 3, 2, 2, 6, 9, 4, 4, 0, 7, 8, 2, 7, 4, 4, 8, 1, 1, 4, 4, 9, 7, 2, 1, 9, 10, 6, 1, 0, 2, 0, 9, 12, 7, 4, 12, 6, 5, 4, 5, 12, 0, 8, 3, 3, 10, 8, 0, 2, 13, 2, 13, 10, 10, 1, 15, 0, 7, 9, 9, 3, 13, …
Los puedes buscar con PARI
ispowerful(n)={local(h);if(n==1,h=1,h=(vecmin(factor(n)[, 2])>1));return(h)}
proxpowerful(n)={local(k);k=n+1;while(!ispowerful(k),k+=1);return(k)}
{for(i=1,5000,if(ispowerful(i),m=proxpowerful(i);p=primepi(m)-primepi(i);print(p)))}
No dejan de aparecer ceros, aunque en general las diferencias parecen crecer.
Se asemejan a una vibración que no parara de crecer en amplitud. Como se ve, no hay lugar para una conjetura simple y elegante. Esto es lo normal, no va a resultar una conjetura en cualquier búsqueda que efectuemos.
Hemos publicado esta sucesión en http://oeis.org/A240590
En la parte inferior del gráfico se perciben los puntos de aquellos números poderosos consecutivos que no tienen primos intercalados entre ellos. Son estos:
8, 25, 32, 121, 288, 675, 1331, 1369, 1936, 2187, 2700, 3125, 5324, 6724, 9800, 10800, 12167, 15125, 32761, 39200, 48668… (sólo escribimos el primer elemento del par de poderosos)
Por ejemplo, entre el número poderoso 1331 y su siguiente 1352 no existe ni un solo primo.
Esta sucesión permanecía inédita y la hemos publicado en http://oeis.org/A240591
Su carácter creciente justifica que creamos que para un poderoso que no presente ningún primo entre él y el siguiente poderoso, existe otro mayor que él con la misma propiedad. La sucesión tendría infinitos términos.
Compuestos libres de cuadrados
Son números que no son primos y que no tienen divisores cuadrados salvo el 1. Estos dan mejor resultado que los poderosos, en el sentido de que las diferencias no oscilan tanto.
Aquí abundan los ceros y el resto de números presenta máximos que crecen lentamente. Por ejemplo, el primer par que posee tres primos intercalados es 346, que hasta el siguiente compuesto libre de cuadrados, el 354, presenta intercalados los primos 347, 349 y 353. Para llegar a cuatro primos intercalados hay que llegar nada menos que hasta 4584470.
1, 2, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1…
Hemos usado este programa en PARI, además, como hacemos siempre, de una búsqueda previa con hoja de cálculo.
freesqrcomp(n)=issquarefree(n)&&!isprime(n)
nextfqc(n)={local(k);k=n+1;while(!freesqrcomp(k),k+=1);return(k)}
primesin(a,b)={local(p=a,q=0);while(p<b,p=nextprime(p);if(p<b,q+=1);p+=1);return(q)}
{for(i=2,100,if(freesqrcomp(i),m=nextfqc(i);p=primesin(i,m);print(i, " ",p)))}
Los hemos publicado en http://oeis.org/A240592
También podemos destacar aquí aquellos que no presentan primos en el intervalo respecto a su consecutivo. Son estos:
14, 21, 33, 34, 38, 55, 57, 62, 65, 69, 74, 77, 85, 86, 91, 93, 94, 105, 110, 114, 115, 118, 119, 122, 129, 133, 141, 142, 143, 145, 154, 158, 159, 165, 174, 177, 182, 183, 185, 186, 187, 194, 201, 202, 203, 205, 206, 209, 213, 214, 215,…
Su aparente tendencia a un crecimiento continuado nos hace pensar que la sucesión es indefinida y que siempre existirá otro elemento mayor que uno dado. (http://oeis.org/A240593)
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