Primo, ¿qué tienes que ver con tu número de orden?

Esta entrada participa en la Edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es ZTFNews.org.


En el mes de septiembre, en un diálogo a través de Twiter, Benjamin Vitale (http://benvitalenum3ers.wordpress.com/) me hizo notar que 3559 es el número primo de número de orden 499, y que ambos números tienen la misma suma de cifras, 22. Ya sabéis que en este blog respondemos, cuando es posible, a todas las ideas que nos llegan con una cuestión a resolver, y no es la primera vez que estas nos llegan de Ben Vitale. En este caso podría ser:

¿Qué detalles pueden tener en común un número primo y su número de orden en la lista de los mismos?

Coincidencia entre cifras

No sólo pueden coincidir en la suma de sus cifras. Será relativamente fácil que lo hagan en la última cifra. En efecto, los primos 17, 31, 83, 109, 157, 563, 587, 599, 661, 811, 823, 859, … Por ejemplo, el 17 es el primo número 7 y 31 el número 11. Puedes estudiarlos mejor en http://oeis.org/A085598

Es más difícil que ambos números coincidan en sus dos últimas cifras. Los primeros números que cumplen esto son (los presentamos por pares, número de orden y primo):

(243,1543), (519, 3719), (589, 4289), (703, 5303), (741, 5641), (823, 6323), (901, 7001), (959, 7559), (973, 7673), (1033, 8233), (1081, 8681), (1197, 9697), (1223, 9923), (1443, 12043), (1477, 12377), (1491, 12491),(1541, 12941), (1723, 14723) (1751, 14951)…

En todos ellos coinciden las dos últimas cifras del primo y de su número de orden. Para encontrarlos necesitamos dos funciones: CORTACIFRAS y PRIMONUM.

Cortar cifras

La primera no es difícil de programar en cualquier lenguaje. Su misión es seleccionar algunas cifras de la expresión decimal de un número. La versión más simple, sin control de errores, es esta
CORTACIFRAS(P,M,N)=(P MOD 10^N)\10^(M-1), en la que P es el número, M el inicio del corte y N el final, ambos incluidos (pueden ser iguales y entonces se corta una sola cifra). El significado de la fórmula es que calculas el módulo o residuo de P respecto a 10^N y el resultado lo divides de forma entera entre 10^(M-1)

Si del número 288762 deseas seleccionar las cifras que van de la segunda a la quinta deberás efectuar estos cálculos: 288763 MOD 10^5 = 88762 y ese número lo divides sin decimales entre 10^(2-1), es decir 8876.

En hoja de cálculo se expresaría así: =COCIENTE(RESIDUO(288762;10^5);10). Compruébalo.

En PARI es más sintético: (288762%10^5)\10

Encontrar el número primo dado su número de orden

Esta función PRIMONUM es más difícil de conseguir. En PARI está yá implementada: prime(k), pero no para números grandes. En el resto de la entrada usaremos esta notación prime(k) que resulta muy sintética. En hoja de cálculo no está disponible de entrada, aunque sí en algún complemento. Un código que resulta un poco lento podría ser este:

Public Function primonum(n)
Dim p, c, i

'encuentra el primo cuyo número de orden es n

c = 0: i = 2
While c < n
If esprimo(i) Then c = c + 1: p = i
i = i + 1
Wend
primonum = p
End Function

Para quienes siguen este blog no será muy difícil encontrar la función esprimo.

Con estas dos funciones y una estructura tipo FOR_NEXT puedes encontrar los primos deseados. Hemos usado también este programa en PARI:

cutdigit(a,p,q)=(a%10^q)\10^(p-1)
{for(n=5,5000,p=prime(n);if(cutdigit(p,1,2)==cutdigit(n,1,2),print(p)))}

En primer lugar hemos definido cutdigit para seleccionar cifras y después la hemos usado entre 1 y 2 para averiguar si coinciden las cifras en k y prime(k)

Hemos publicado la tabla para prime(k) en  https://oeis.org/A232102 y la de k ya estaba publicada en https://oeis.org/A067838

Modificando lo anterior podemos buscar la igualdad en las tres últimas cifras. Los resultados son estos:

(1491, 12491), (1723, 14723), (4119, 39119), (4437, 42437), (6347, 63347), (6931, 69931), (7817, 79817), (9551, 99551), (12083, 129083), (12637, 135637), (13647, 147647), (15103, 165103), (16637, 183637), (17181, 190181),…

Los números primos los hemos publicado en https://oeis.org/A232104 y sus números de orden los tienes en https://oeis.org/A067841. Intenta reproducirlos.

Con cuatro cifras tenemos que forzar la máquina, porque en Basic resulta lento y en PARI la función prime(k) sólo está definida hasta un tope, que en nuestro caso se supera después de obtener el primo número 24833. Hemos tenido que acudir a la función primenext (o nuestra primprox), pero no daremos detalles. El resultado es, para los números de orden:

9551, 15103, 18697, 23071, 24833, 48229, 53853, 58681, 83819, 91617, 93909, 107647, 115259, 120487, 126497, 156991, 160681, 162857, 177477, 181833, 189143, 194229, 208679, 213703, 221569,…

Y para los números primos:

99551, 165103, 208697, 263071, 284833, 588229, 663853, 728681, 1073819, 1181617,
1213909, 1407647, 1515259, 1590487, 1676497, 2116991, 2170681, 2202857, 2417477,
2481833, 2589143, 2664229, 2878679, 2953703, 3071569,…

Puedes compara uno a uno. Por ejemplo, el primo número 194229 es el 2664229.

Las hemos incorporado a https://oeis.org/A232189 y https://oeis.org/A232188 respectivamente.

No seguimos presentando sucesiones, por nuestro deseo de no cansar. Sólo destacaremos que los primos 1407647 y 1515259, de órdenes respectivos 107647 y 115259 son los primeros en presentar una coincidencia de cinco cifras, y prime(303027)=4303027, prime(440999)=6440999 son los primeros en coincidir en seis.

De los de coincidencia en siete cifras damos el primero: prime(5517973)=95517973, pero le siguen más. Hay que forzar el PARI y con las hojas de cálculo mejor lo olvidamos.

Coincidencia total

Existen primos cuyo número de orden constituye todo su final en cifras. Son los llamados primos automórficos, y están publicados en http://oeis.org/A046883. Por ejemplo, el primo número 9551 resulta ser 99551 y el 303027, 4303027, coincidencia en las últimas cifras.

Operaciones con cifras

Las coincidencias en la suma de cifras similares a las de 499 y 3559 están recogidas en http://oeis.org/A033548 y reciben el nombre de “primos de Honaker”. Puedes ver en la siguiente dirección un ejemplo notable de este tipo de primos:

http://primes.utm.edu/curios/page.php/37778931862957154241011.html

Hemos investigado las coincidencias en el producto de cifras, pero no presenta gran interés, ya que las cifras 0 aumentan las posibilidades de coincidencia. Te lo dejamos como propuesta. Los primeros son: 17, 181, 409, 443, 491, 601, 809, 1013, 1069,…

Concatenaciones

Están publicadas relaciones basadas en la concatenación de cifras:

Concatenar p y prime(p) y que resulte un primo:

http://oeis.org/A084667: La concatenaciones primeras son (separamos con un guión el número de orden y el primo) 2-3, 4-7, 6-13, 12-37, 17-59, 18-61, 23-83, 27-103, 30-113, 35-149, 36-151,…

Concatenación inversa

http://oeis.org/A084669: Si invertimos la concatenación también obtenemos ejemplos:

5-3, 23-9, 67-19, 73-21, 157-37, 307-63, 389-77, 419-81, 449-87, 587-107,…

Hemos investigado también las diferencias entre prime(k) y k, pero o están publicadas o carecen de interés. Ahí tienes un reto.