Ciclos(3) Números de Stirling de primera especie

Vimos en la entrada anterior que toda permutación sobre el conjunto {1,2,3,…,n} se puede descomponer en k ciclos, y van desde la identidad, que comprende n ciclos, hasta las permutaciones cíclicas, que se reducen a un solo ciclo.

Si fijamos el número k, podremos plantearnos cuántas permutaciones se pueden descomponer exactamente en k ciclos. Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3,4,5}, las permutaciones formadas por dos ciclos son (escribimos sólo los conjuntos invariantes en los ciclos):

(1,2,3,4)(5), (1,2,3,5)(4), (1,2,4,5)(3), (1,3,4,5)(2), (2,3,4,5)(1),
(1,2,3)(4,5), (1,2,4)(3,5), (1,3,4)(2,5), (2,3,4)(1,5), (1,2,5)(3,4), (1,3,5)(2,4), (2,3,5)(1,4),
(1,4,5)(2,3), (2,4,5)(1,3), (1,3,5)(1,2)

Resultan en total 15 configuraciones, pero cada conjunto de cuatro elementos equivale a seis ciclos (permutaciones circulares, factorial de n-1=3). Así, (1,2,3,4) contiene en realidad los ciclos (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3)(1,4,3,2) y cada conjunto de tres equivale a dos ciclos (y los de dos, a uno solo), luego tendremos:

S(5,2)=5*6+10*2=50

Al número de permutaciones de n elementos que están formadas por k ciclos le llamaremos número de Stirling de primera especie sin signo, y lo representaremos por S(n,k). Así, el cálculo anterior se puede expresar como S(5,2)=50

Es evidente que S(n,n)=1, pues sólo la identidad contiene n ciclos, y que S(n,1)=(n-1)!, pues representaría a las permutaciones circulares. Además, S(n,0)=0, valor adoptado por definición. Piensa también por qué S(n,n-1)=Cn,2 (número combinatorio).

El resto de números de Stirling se obtiene mediante la fórmula de recurrencia

S(n+1,k)=S(n,k-1)+nS(n,k)

En efecto, si añadimos un elemento nuevo a una configuración en ciclos, puede ocurrir que ese elemento sea un invariante, que forme ciclo consigo mismo. En ese caso puede estar acompañado de S(n,k-1) formas distintas de distribución en ciclos. Por el contrario, si el nuevo lo deseamos integrar en los ciclos ya existentes, lo podemos incluir ocupando n lugares distintos, luego formará nS(n,k) configuraciones diferentes.

Lo entenderás mejor con un ejemplo. Formemos todas las distribuciones de 4 elementos en 3 ciclos:

(1)(2,3)(4), (2)(1,3)(4), (3)(1,2)(4)
(1,4)(2)(3), (1)(2,4)(3), (1)(2)(3,4)

En total resultan 6. En la primera fila hemos añadido el 4 como elemento invariante, añadido a las tres configuraciones de 3 elementos en dos ciclos S(3,2) y en la segunda lo hemos integrado en los ciclos existentes, que sólo tienen una posibilidad, (1)(2)(3) (S(3,1)) y podemos insertarlo en 3 posiciones distintas, luego resultan 3S(3,3). En resumen:

S(4,3)=S(3,2)+3S(3,3)

Esto nos da una posibilidad de calcular estos números. Por convenio se les da valor cero cuando el número de ciclos es cero. En la imagen tienes la tabla conseguida en hoja de cálculo con stirling.xls y stirling.ods (los puedes descargar desde
http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#nume)

Comprueba en ella alguna generación por recurrencia. Por ejemplo, 274=50*5+24, 1624=225*6+274

También es elemental la propiedad de que la suma de números de Stirling para un n dado es n!, pues abarcan todas las posibilidades. Comprueba este hecho sumando todos los números de una misma fila en la tabla de la imagen.

Observa que cada fila posee un solo máximo, como ocurre, por ejemplo con los números combinatorios, sólo que aquí no está necesariamente en el punto medio.

Función generatriz

La función generatriz de estos números (con signo), para un n dado es

F_n(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-n+1)=x⁽ⁿ

Con ella resultan los números con signo y prescindiendo de S(n,0). Observa que se trata de una potencia factorial, o factorial de grado n de x. Los números de Stirling con signo obedecen la misma fórmula de recurrencia, pero restando el segundo término. Esto es claro si consideras el desarrollo de

F_n+1(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-n+1)(x-n)= F_n(x)(x-n)

Piensa en un grado cualquiera del desarrollo y lo comprenderás.

Lo podemos comprobar con PARI, por ejemplo en el caso n=6

{print(taylor(x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5),x,7))}

Resultado: -120*x + 274*x^2 - 225*x^3 + 85*x^4 - 15*x^5 + x^6 + O(x^7)

En la imagen puedes estudiar la comprobación con wxMaxima:

Como ves, los ordena en sentido inverso.

Una interpretación sencilla de este desarrollo es el considerar los números de Stirling (salvo el caso de índice cero) como los coeficientes mediante los que una potencia factorial x⁽ⁿ se descompone como combinación lineal de potencias ordinarias x^k de x.