De los triangulares alojados a los primos de Sophie Germain

Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Si tomamos 40 cubos, los podemos apilar en forma de prisma con base un triángulo isósceles y rectángulo, o en términos aritméticos, un número triangular mayor que 1. Excluimos la unidad porque en ese caso se pierde la forma triangular.

Este ejemplo es válido porque 40=4*10, y 10 es el cuarto número triangular.

No todos los números enteros se pueden representar así, pues han de ser múltiplos de un número triangular y eso no siempre ocurre. Por ejemplo, el 14, ya que entre sus divisores no figuran 3, 6 ó 10, que son los triangulares menores que él (recuerda que excluimos el 1). Esto ya nos divide el conjunto  de los números naturales entre los que tienen divisores triangulares mayores que 1 y los que no.

Los segundos, que no admiten la representación propuesta, son 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 38… (http://oeis.org/A112886) y les llamaremos libres de triangulares. Verás que están los primos, algunos semiprimos, potencias de primos y otros a los que volveremos más adelante.

Parte triangular y parte libre de triángulos

Sabemos que los primeros admiten un divisor triangular pero, como pueden ser varios, nos quedaremos con el mayor: llamaremos parte triangular (PTR) de un número al mayor divisor triangular que posea. Si has leído sobre estos temas, te recordará esto a la parte cuadrada y la parte libre de un número (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-libre.html)

El mayor divisor triangular puede ser 1 o el mismo número, como se comprueba en la lista de todos ellos (http://oeis.org/A115017):

N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,  12,  13, 14, 15, 16,  17,  18,  19,  20, 21, 22…
PTR 1, 1, 3, 1, 1, 6, 1, 1, 3, 10,   1,   6,    1,   1,  15,   1,   1,   6,    1,  10, 21,   1…

En ella están los libres de triangulares, que son los que se corresponden con un 1, como el 4 y el 5, los triangulares, cuya PTR son ellos mismos, como 6 y 10, y el resto, en el que se tiene una parte triangular y otra libre ambas mayores que la unidad. Es el caso de 12 o 40. La parte libre de estos últimos está recogida en http://oeis.org/A121289

Una idea: dos números con la misma parte libre y partes triangulares consecutivas formarán un prisma cuadrado. Imagina el prisma de la primera imagen y su complementario.

Búsqueda de la parte triangular

Un algoritmo simple es el de ir recorriendo los números naturales k, formar con ellos los triangulares mediante k(k+1)/2 e ir verificando si el número dado N es múltiplo de alguno. El mayor de todos ellos será la PTR(N).

Previamente es bueno calcular el orden del máximo triangular que es menor o igual que N, para acortar el ciclo de búsqueda. Se deja a los lectores la demostración de que ese orden k se calcula mediante

En hoja de cálculo sería =ENTERO((RAIZ(8*N+1)-1)/2)

Por ejemplo, para N=14534, k=169 y el mayor triangular menor que N, 169*170/2 = 14365. A nosotros nos interesaría el 169, porque entre 2 y 169 estaría el orden del triangular buscado. Todo esto se puede plasmar en una función:

Public Function partetriang(n)
Dim p, i, t, tr

p = Int((Sqr(n * 8 + 1) - 1) / 2) ‘Calcula el máximo orden
t = 1
For i = 2 To p
tr = i * (i + 1) / 2 ‘forma todos los triangulares menores o iguales a n
If n / tr = n \ tr Then t = tr ‘si es divisor, toma nota
Next i
partetriang = t ‘se queda con el mayor
End Function

El algoritmo busca los triangulares entre el menor 3 y el mayor k(k+1)/2 y se va quedando con los divisores. El último encontrado será PTR(A).

Si en lugar de recoger el valor de i*(i+1)/2 hubiéramos ido recogiendo i, nos hubiera resultado el orden de PTR. Los tienes en http://oeis.org/A083312

¿Qué números dan alojamiento a un triangular?

Para que N tenga un divisor triangular mayor que 1 se ha de poder escribir de la forma N=k(k+1)*M/2 con k>1. Esto da lugar a varias interpretaciones:

(a) N tiene un divisor triangular mayor que 1, si y sólo si 2N posee dos divisores consecutivos mayores que 1.

Es condición necesaria, pues la expresión de 2N sería 2N=k(k+1)*M con k>1, con lo que k y k+1 son los divisores pedidos.

Por ejemplo, el triangular 21 divide a N=8883, con lo que el doble 17766=6*7*423 contiene a los consecutivos 6 y 7.

La condición es suficiente: Si 2N posee dos divisores consecutivos h y h+1 con h>1, estos serán primos entre sí, luego su MCM(h,h+1) será su producto h(h+1). Como 2N es múltiplo de h y h+1, lo será de su MCM, es decir de su producto. Por tanto 2N=h(h+1)P y será múltiplo del triangular h(h+1)/2, ya que uno de los dos h o h+1 es par.

Los números 2N de este tipo los tienes en http://oeis.org/A132895. Son el doble de un número libre de triángulos.

Sería interesante que pensaras en un algoritmo que descubriera esos números.

(c) Los semiprimos N=p*q son números libres de triángulos salvo que uno de sus factores  sea 3, o bien q=2p±1 

En efecto, si N=p*q con p y q primos, 2N=2pq ha de contener dos divisores consecutivos. Si p o q fueran iguales a 3, ya se cumpliría, porque 2N=2*3*k, pero entonces N sería múltiplo de 3.

Si ni p ni q son iguales a 3, lo serán a 2 o a un primo mayor que 3. Si por ejemplo p=2 entonces 2N=2*2*q y q se ve obligado a ser 3, con lo que pasamos al primer caso. Seria múltiplo de 3.

Así que sólo nos queda que N=p*q con p y q primos mayores que 3  y no son números consecutivos (porque son impares). En ese caso es claro que 2N=2pq no podría tener divisores consecutivos salvo que q=2p+1 o bien q=2p-1 (o simétricamente, p=2q+1 o 2q-1). En el primer caso p sería un primo de Sophie Germain.

Recuerda que los primos de Sophie Germain son aquellos en los que 2*p+1 también es primo: 2, 3, 5, 11,…

(d) Los números primarios (potencias de primos) están libres de triángulos salvo el caso N=3k

Esta es trivial: Si N=pk con k>1, entonces 2N=2pppp…sólo contendría divisores consecutivos en el caso 2N=2*3*3*3...

¿Se te ocurren más propiedades? A nosotros por ahora no.