¿Qué hay detrás de los decimales periódicos? (1)

Hace unos meses comentaba con un amigo el tratamiento que se podía hacer con hoja de cálculo de los decimales periódicos. Ya en una de las primeras entradas de este blog encontrábamos los decimales de este tipo

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2008/10/grandes-periodos.html

Lo que no nos planteamos en esa ocasión fue el cálculo del número de decimales del periodo, su longitud, mediante un cálculo directo, ni tampoco la del anteperiodo. Lo abordamos hoy mediante la ayuda de las congruencias y de los restos potenciales.

¿Qué es sacar decimales en una división o en una fracción?

Fundamentalmente se trata de multiplicar los distintos restos por 10 y hallar su nuevo resto respecto al cociente. Cuando este se repita, ya hay periodo.

Si tenemos una división entera de dividendo D, divisor d, cociente Q y resto R, sabemos que están relacionados por D=d*Q+R. Si multiplicamos R por 10 y volvemos a dividir entre Q (sacar el primer decimal) obtendremos R*10=d*q₁+r₁, donde q₁ es el primer decimal y r₁ el siguiente resto. Si unimos ambas relaciones se obtendrá

 D*10=(10*Q+q₁)*d+r₁

El paréntesis representa el nuevo cociente con un decimal, pero sin coma, es decir, multiplicado por 10. Ya hemos sacado un decimal.

Si damos otros pasos obtendremos

D*10²=(10²*Q+10*q₁+q₂)*d+r₂
D*10³=(10³*Q+10²*q₁+10*q₂+q3)*d+r₃
…

Desarrollo decimal exacto o periódico

Sabemos desde la enseñanza secundaria que si el divisor sólo posee los factores primos 2 y 5 el proceso anterior nos lleva a un resto nulo y al fin del cálculo, lo que llamamos decimal exacto. Si existen otros factores aparecerá un anteperiodo si entre ellos figuran el 2 o el 5 y finalmente, el decimal se conviertirá en periódico con un periodo inferior o igual a d-1.

¿Qué hay detrás de estos hechos?: los restos potenciales del 10 respecto al divisor.

Los repasamos.

Restos potenciales

Imaginemos las congruencias definidas respecto a un módulo m

(http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/teoria/teorcong.pdf)

y sea n un número natural. Llamaremos Restos potenciales de n respecto a m a los
restos producidos por las distintas potencias naturales de n respecto al módulo m.

Por ejemplo, los restos potenciales de 5 respecto al módulo 3 son:

De 5⁰ el resto es 1, de 5¹ el resto es 2, de 5² el 1, de 5³ el 2, etc. y así siguen de forma periódica.

Se puede ver muy fácilmente que si se tiene un resto potencial de n respecto a m, para conseguir el siguiente basta multiplicar el actual de nuevo por n y hallarle el resto respecto a m. No hay que hallar la potencia completa.

El conjunto de restos potenciales sigue unas pautas muy sencillas:

1. Si m sólo contiene los factores primos de n, se llegará a cierta potencia de n que será múltiplo de m y por tanto, a partir de ella, todos los restos potenciales serán nulos.

Sería el caso, por ejemplo, de los restos potenciales de 60 respecto al 18, cuyos factores primos 2 y 3 lo son también de 60. La potencia k que consiga que 60^k sea múltiplo de 18 producirá un resto cero y al seguir multiplicando por 60 también serán nulos los restos que aparezcan.

60⁰º1(mod 18

60¹º6 (mod 18

60²º0 (mod 18

60³º0 (mod 18

60⁴º0 (mod 18

…..

Ya todos serían nulos. Hemos tenido que llegar a 60² para absorber el 3² que figura en el desarrollo de 18=2*3²

(Este desarrollo y los siguientes los puedes comprobar con la herramienta “Restos potenciales” que puedes descargar desde

http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/inicongruencias.htm)

En general, habrá que llegar a la potencia que viene determinada por el mayor de los cocientes (por exceso si no son enteros) entre los exponentes de los factores primos de m y sus homólogos en n.

En efecto, si n=p^aq^br^c    y m=p^a’q^b’r^c’ supongamos que elevamos n a un exponente k y que con eso conseguimos que n^k sea múltiplo de m. Esto nos llevaría a que
n^k=( p^aq^br^c)^k = p^akq^bkr^ck sea múltiplo de m= p^a’q^b’r^c’, que a su vez implica que ak³a’, bk³b’ y ck³c’, lo que supone que k sea mayor o igual que los cocientes a/a’, b/b’ y c/c’, tal como hemos afirmado: el mínimo valor de k es el mayor cociente tomado por exceso entre los exponentes en n y sus homólogos en m.

2. Si m es primo con n, los restos son periódicos de periodo el índice o gaussiano de n respecto a m. El resto 1 se producirá en los múltiplos de ese gaussiano.

Si recorremos los restos potenciales de n respecto a m, si ambos son primos entre sí, por el teorema de Euler se cumplirá que

n^j(m)º1 (mod m

Se representa mediante j(m) la indicatriz de Euler
(ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/07/la-herencia-de-euclides-5-la-funcion.html)

Así que a partir de una de las potencias aparece el resto 1 y al seguir multiplicando por n irán apareciendo los demás de forma periódica.

Otra forma de verlo es que en este caso n es inversible en Z_m, no divisor de cero, por lo que sus potencias producirán todas restos no nulos (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2012/06/la-herencia-de-euclides-3-el-anillo-zm.html) y esto nos llevará a que se repita alguno, porque su máximo número es m-1.

Sean dos potencias de n que producen el mismo resto: n^rºn^r+h (mod m. En ese caso se cumplirá que n^r+h-n^r=n^r(n^h-1) será múltiplo de m. Pero este es primo con n, luego no puede dividir a n^r y lo hará a n^h-1. Esto quiere decir que n^hº1 (mod m y podemos afirmar que:

En general, no hay que llegar hasta el exponente j(m) para conseguir un resto igual a 1. Llamaremos gaussiano, orden o índice de n respecto a m al menor exponente k al que hay que elevar n para producir resto 1 respecto al módulo m.

Por tanto, cuando n y m son primos entre sí, los restos potenciales forman una sucesión periódica a partir del primero con periodo igual al gaussiano de n respecto a m.


3. Por último, si m posee los mismos factores primos de n y alguno más, la sucesión comenzará con unos restos no periódicos, tantos como el mayor cociente entre los factores comunes de uno y otro (ver primer caso),  a los que seguirán otros periódicos.

Si m contiene factores comunes con n y otros no comunes, lo podemos descomponer así: m=m₁*m₂, donde m₁ contiene los comunes y m₂ los no comunes. Si volvemos a repetir el análisis anterior sobre potencias cuyos restos se repiten, llegaremos a esto:
n^r(n^h-1) será múltiplo de m=m₁*m₂ con la suposición de que n^r produce el primer resto que se repite.
Pero m₂ es primo con n^r, luego dividirá a n^h-1. Con un razonamiento similar al del caso 1, llegaremos a que el menor valor de h es el gaussiano de n respecto a m₂.

De igual forma, si m₁ sólo contiene factores primos comunes con n, no podrá dividir a n^h-1, luego lo hará a n^r.   Hemos indicado que n^r produce el primer resto que se repite, luego todos los anteriores no pertenecerán a la parte periódica, y formarán el anteperiodo, ya que la condición de que m₁ divida a n^r garantiza que r es mayor que 0. Para que n^r sea múltiplo de m₁ sólo tendremos que usar el criterio del mayor cociente de factores comunes, como en el primer caso.

Aplicación a los decimales periódicos

Todo lo que hemos aprendido se aplica a la generación de decimales. Aquí n=10, luego los factores comunes sólo serán el 2 y el 5. El divisor d equivale a la m que hemos usado en los razonamientos.

Antes de generarlos, la fracción D/d se habrá convertido en irreducible, luego D y d son primos entre sí. Esto es muy importante, porque según una conocida propiedad de la aritmética modular, si la sucesión 10, 10², 10³, 10⁴,…la multiplicamos por D, coprimo con el módulo d, la sucesión resultante D*10, D*10², D*10³, D*10⁴,…forma un sistema de restos con las mismas propiedades, salvo quizás los valores de los mismos.

Resumiendo:

Si d sólo contiene los factores 2 y 5, el proceso de generación de decimales  termina con un r_k=0 (cuando la potencia de 10 del primer miembro contenga 2 y 5 con exponentes mayores o iguales a los de d) y se obtendrá un desarrollo decimal exacto.

Si el divisor d no contiene como factores ni el 2 ni el 5 se producirá un decimal periódico puro en la que todos los restos se repetirán a partir del primero, con periodo igual al gaussiano de 10 respecto al divisor d

Si d contiene además del 2 o 5 otros factores, el desarrollo comenzará con k decimales no periódicos (el anteperiodo), siendo k el mayor exponente tomado entre los del 2 y el 5 que figuran en la factorización prima de d, seguidos de un periodo con tantas cifras como indique el gaussiano de 10 respecto a la parte de d que no contiene 2 ni 5. Se formaría un decimal periódico mixto

En la siguiente entrada describiremos una sencilla herramienta para hojas de cálculo que encuentra el anteperiodo y el periodo de un desarrollo decimal.