Este cromo lo tengo repe (1)

 (Con esta entrada participamos en la edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas coordinado en esta ocasión por el blog  Gaussianos. Al final de la semana publicaremos la continuación)

Mi nieta y sus amigas ya tienen edad para coleccionar cromos. Así que las hemos visto repetidamente pasar del entusiasmo de los primeros días -“No lo tengo, no lo tengo, este tampoco”-, a las medias desilusiones de los últimos –“Repe, otro repe, este lo tengo, pero no pasa nada, me pondré a cambiar…, o lo regalo”-. Al final, los padres se van al Rastro o piden a las distribuidoras los cromos que faltan. Siempre ha sido así, al menos desde que éramos niños los que ahora somos abuelos.

Este proceso de evolución de la esperanza en obtener un nuevo cromo ha interesado a especialistas y divulgadores, especialmente al explicar las simulaciones. Recuerdo con mucha nostalgia un artículo de Ricardo Aguado, Agustín Blanco y Ricardo Zamarreño, compañeros en los tiempos heroicos (años 80) de introducción de los ordenadores en la enseñanza.

http://www.doredin.mec.es/documentos/00820073007308.pdf

Ellos simularon la evolución de la colección de cromo en cromo, y con una ampliación para el caso de dos coleccionistas que intercambian.

He visto también alguna simulación sobre cromos con MINITAB, pero ninguna con hoja de cálculo. Quien siga este blog sabrá ya que eso es motivo suficiente para que se emprenda en él otra nueva tarea.

Aquí estudiaremos la evolución de sobre en sobre, que es como verdaderamente se compran los cromos y consideraremos una sola colección sin intercambio con otras.

Primera aproximación

Si se tienen ya K cromos y la colección consta de N, la probabilidad de que obtengas h cromos nuevos en un sobre que trae m es, en primera aproximación, de tipo binomial. En efecto, se trata de obtener h éxitos en m intentos dentro de una variable dicotómica (REPE-NO REPE). Pero de esta forma hemos hecho una pequeña trampa, que es suponer que la probabilidad permanece constante mientras sacas cromos del sobre, y eso no es así, pues cualquier cromo no repetido altera la situación, pero ya hemos advertido que es una aproximación para abrir camino. Después pasaremos a una simulación exacta.

Con esta idea, si la probabilidad de que no tengamos un cromo que saquemos del sobre es p=(N-K)/N, la esperanza matemática de obtener m cromos nuevos será, según la teoría de las distribuciones binomiales, E=mp. En cada sobre esperamos obtener E cromos.

(ver http://hojamat.es/estadistica/tema6/teoria/teoria6.pdf)

En esa idea nos basaremos para construir con la hoja de cálculo un modelo aproximado: para cada sobre hallaremos las probabilidades de que salga repetido o no, calculamos E y vamos acumulando. El gran problema de este estudio es que cada cromo nuevo que incorporemos a la colección hace variar la probabilidad p, por lo que tendremos que ir calculando de sobre en sobre. De ahí la utilidad de una hoja de cálculo, aunque, al ser las operaciones bastante simples, se puede usar una calculadora.

Una forma de abordar el tema es construyendo una función de cuatro variables:

Public Function paso_med(total, tengo, sobre, compra)
Dim i, salen
For i = 1 To compra
salen = sobre * (total - tengo) / total
tengo = tengo + salen
Next i
paso_med = Int(tengo)
End Function

Los parámetros son TOTAL, que es el número de cromos de la colección completa, TENGO, los que ya tengo, SOBRE, los que vienen en cada sobre y COMPRA, los sobres que compro. Para llegar al resultado (insistimos, aproximado y estimativo), se recorren los sobres uno a uno, se le estima la media de no repetidos (variable SALEN) y se acumula a los que tengo. Todo el cálculo se recoge en el resultado PASO_MED.

Con esta función puedes construir una tabla de evolución de la colección. Parte de un inicio, que puede ser de 0 cromos, y vas usando de forma recurrente la función anterior hacia abajo, saltando cada vez el número de sobres que desees. Así lo hemos hecho en esta tabla, contando también los cromos comprados y los que salen repetidos:

Sobre	Total	Sobres en cada compra
5	250	10
Sobres	Salen	Compro	Repes	Faltan
0	0	0	0	250
10	45	50	5	205
20	82	100	18	168
30	112	150	38	138
40	137	200	63	113
50	157	250	93	93
60	174	300	126	76
70	187	350	163	63
80	198	400	202	52
90	207	450	243	43
100	214	500	286	36
110	220	550	330	30
120	225	600	375	25
130	229	650	421	21
140	232	700	468	18
150	235	750	515	15
160	237	800	563	13
170	239	850	611	11
180	241	900	659	9

Si consideramos terminada una colección cuando faltan por tener menos de 10 cromos (en ese momento suele aparecer la decisión paterna de comprar los que quedan), según este ejemplo, que no anda muy descaminado, hay que comprar unos 180 sobres en lugar de los 50 que en este caso constituirían el número mínimo, es decir un 360%. Si quisiéramos aproximarnos al último cromo sería necesario comprar más del 500%

De todas las columnas nos fijaremos en primer lugar en la última

Evolución de los cromos que faltan por tener

Si representamos gráficamente el número de cromos que van faltando en  cada compra, obtenemos una gráfica de siguiente tipo

No constituye ninguna sorpresa. Sabemos que el incremento (negativo) del número de los que nos faltan va decreciendo alarmantemente con cada compra. Tampoco nos asombrará el que se ajuste bien a una función exponencial, ya que la probabilidad de disminuir el número de cromos que nos faltan es aproximadamente proporcional a dicho número, en virtud de la probabilidad p=(N-K)/N.

Hemos ido cambiando los parámetros TOTAL y SOBRE, comprobando que una función del tipo

donde X es el número de sobres comprados, se ajusta bastante bien al proceso, como puedes observar en el siguiente ajuste realizado con un total de 200 cromos cuando entran 4 en cada sobre.

Acumulación de repetidos

Si tienes el dato de los que te faltan, también sabes los repetidos que te han salido. Su fórmula aproximada sería:

Te dejamos que razones este resultado. La gráfica de los repes tiene como asíntota y=SOBRE.X-TOTAL. Es fácil de ver: los cromos que ya tengo se acercan poco a poco al TOTAL y SOBRE.X representa los que ya he comprado, luego es lógico que los repetidos se acerquen a su diferencia.

¿Y si quisiéramos llegar a los últimos cromos?

Sin cambiar ni comprar podríamos llegar a un proceso infinito de compra. Por eso, lo lógico es detenerse cuando ya faltan diez o doce cromos y acudir a la compra directa.

Hemos introducido la función inversa (también aproximada), por la que sabiendo los cromos que ya tengo y los que quiero, te devuelve el número de sobres que necesitas comprar por término medio.

Su código es

Public Function compra_med(total, tengo, sobre, quiero)
Dim i, salen, t
i = 1
t = 0
While tengo < quiero
salen = sobre * (total - tengo) / total
tengo = tengo + salen
i = i + 1
Wend
compra_med = i
End Function

Con ella se llega a resultados muy interesantes. En la siguiente tabla se recogen los sobres de cinco cromos que se tendrían que comprar en una colección de 250, partiendo de cero, para llegar a 240, 245 o incluso 249 (con 250 podría llegar a un bucle sin salida). En teoría, si no salieran repetidos, serían 50 sobres, pero en la realidad, observa…

Colección de 250 cromos en sobres de 5
Paro de comprar en	Sobres que he de comprar	Porcentaje respecto al mínimo
240	161	322%
245	195	390%
247	220	440%
248	240	480%
249	275	550%

Al último resultado ya llegaron los autores citados arriba: necesitas comprar más de cinco veces el número mínimo de sobres necesario. También llama la atención que para que sólo te falten 10 debas comprar el 322%. Es todo un aviso a los papás.

¿Qué exactitud tendrá todo esto? Pues en la siguiente entrada efectuaremos una simulación cromo a cromo y realizaremos series para ver si se confirman estos resultados.