Parientes de Ruth y Aaron

 (Con esta entrada participamos en la edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas que tendrá lugar del 14 al 25 de Marzo en Gaussianos)


Hace unas semanas, el blog NumberADay presentaba los números 714 y 715 como integrantes de un par del tipo Ruth-Aaron, porque ambos son consecutivos y comparten el mismo valor en su logaritmo entero. Estudiamos esta función hace meses en una entrada de nuestro blog. En ella explicábamos que el logaritmo entero de un número se define mediante la suma de todos sus divisores primos contando su multiplicidad. Se representa como sopfr(n). Pues bien, sopfr(714)=2+3+7+17=29 y sopfr(715)=5+11+13=29

Puedes buscar en la Red este concepto, y consultar en http://oeis.org/A039752 la lista de los primeros números que forman pares de Ruth-Aaron.

Podíamos buscar otros números con una propiedad similar y ver si ya están estudiados. Puedes usar la implementación de la función sopfr(n) que ya hemos publicado.

La primera idea sería buscar números que se diferenciaran en 2 unidades y compartieran la misma suma de factores primos. Existen, y los primeros son estos (escribimos el más pequeño del par): 10, 16, 30, 154, 250, 1428, 1896, 2660, 3040, 3724, 4982,…Todos parecen ser pares. ¿Podrías encontrar el siguiente?¿Habría alguno que fuera impar? Desconozco la respuesta a la segunda pregunta.

También existen pares diferenciados en 3, como 847 y 850, ambos con suma 29, como en el primer ejemplo. Y con otras diferencias, como 931 y 935, de diferencia 4, por lo que no parece tener interés seguir investigando por ahí.

Podíamos buscar diferencias más sofisticadas (productos no, ¿por qué?). Una idea sería sumar al más pequeño su propio logaritmo entero. Pues bien, eso ya está estudiado. Por ejemplo, la suma de los divisores primos de 60 (2,2,3,5) es 12. Si sumamos 12 a 60 nos resulta 72, y sus divisores 2+2+2+3+3 también suman 12. Puedes estudiar estos números en http://oeis.org/A050780

También podíamos ensayar el sumarle el número de divisores primos (con multiplicidad), es decir, su redondez  o "multiprimalidad" (función bigomega). Por ejemplo, 45 tiene redondez 3, porque sus divisores primos son tres: 5, 3 y 3, con suma 11. Añadimos esa redondez a 45 y nos resulta 48, cuyos factores primos son 2, 2, 2, 2, 3, cuya suma también es 11.

Aquí tienes los primeros (también sólo escribimos el más pequeño del par): 5, 10, 45, 60, 128, 231, 308, 470, 847…¿Sabrías encontrar el siguiente? Deberás usar tus propios métodos, porque no hemos visto publicados estos números.

Su propiedad se puede expresar así:

(n + bigomega(n) = m) y (sopfr(m) = sopfr(n))

Si llamamos función omega(n) al número de factores primos de n sin contar multiplicidades, ¿qué números cumplirían esta condición?

 (n + omega(n) = m) y (sopfr(m) = sopfr(n))

¿Se te ocurren propuestas parecidas? ¿Habrá más parientes de Ruth y Aaron?