domingo, 9 de enero de 2011

¿Alguien sabe algo de esto? (1)

Hace unas semanas, con motivo del año nuevo, llegué a la expresión 2011=211-37. Una vez publicada, se me ocurrió preguntarme qué otros números primos se pueden expresar igualmente como una potencia de 2 menos otro número primo.

Programé la hoja de cálculo para encontrar el menor número primo que sumado a otro dado produce una potencia de 2. Todo fue bien salvo en ciertos primos, como 7, 43, 101, 127, 151, 223,…Busqué e investigué qué podían tener de particular esos primos y no llegué a ninguna conclusión. Mejoré y simplifiqué el algoritmo y me di cuenta de que simplemente los resultados sobrepasaban los registros de la hoja.

Así que definí, para todo número primo p, la función comple2(p), como el menor número primo que sumado a p da como resultado una potencia de 2.

Por ejemplo: comple2(857)=167, ya que 857+167=1024=210.

Implementé esta función en Excel y OpenOffice.org con este código:

Public Function comple2(n)
Dim b, a
b = 2
a = b - n
While esprimo(a) = 0
b = b * 2
a = b - n
Wend
comple2 = a
End Function

 y así logré esta tabla

P
COMPLE2(P)
P
COMPLE2(P)
2
2
97
31
3
5
101
67108763
5
3
103
409
7
549755813881
107
149
11
5
109
19
13
3
113
911
17
47
127
140737488355201
19
13
131
16253
23
41
137
887
29
3
139
373
31
97
149
107
37
2011
151
2147483497
41
23
157
32611
43
536870869
163
349
47
17
167
89
53
11
173
83
59
5
179
3917
61
3
181
331
67
61
191
16193
71
953
193
2096959
73
439
197
59
79
433
199
313
83
173
211
33554221
89
167
223
¡Imposible!



Sólo existe un primo que resulta igual a su complementario: naturalmente el 2. La  relación no es simétrica, porque por ejemplo comple2(13)=3 y sin embargo comple2(3)=5

Al llegar al 223 fue imposible lograr su imagen. Los registros de datos no daban más de sí. Por ello, me decidí a usar un programa CAS. Como intento trabajar siempre con software gratuito, acudí a la calculadora Wiris, con el algoritmo que puedes estudiar en la imagen, y ahí se produjeron los resultados sorprendentes:



Comple2(223)=3705346855594118253554271520278013051304639509300498049262642688253220148477729

Comple2(809)=285152538601387201165073225356268207805826781703034995661199532368704697950542336656619550707335712486165144348349650456918044045085964874890791332482638386765749667147516559380179637015411927

Comple2(947)=485667223056432267729865476705879726660601709763034880312953102434726071301302123597

Como no me acababa de fiar, acudí al programa wxMaxima con un código similar, pero ajustando el valor inicial de la potencia para evitar valores negativos:

n:223$
b:256$
c:b-n$
for i:1 unless primep(c) do (
b:b*2,
c:b-n
)$
display(c);


 y confirmé los resultados anteriores.

Se ve que el cálculo de este complementario de un número primo se puede complicar muchísimo, pero, ¿dará lugar en algún caso a un bucle sin fin? ¿existirá algún número primo que nunca pueda ser completado a una potencia de 2?

También he buscado en OEIS  y la secuencia 2, 5, 3, 549755813881,5, 3, 47, 13, 41,… no está recogida, aunque la A096822 se le parece.


Ahí es donde pido ayuda, porque yo no lo sé. ¿Existe este teorema o al menos como conjetura?:

Para todo número primo p existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2.

Se parece a la conjetura de Goldbach, pero se diferencia en que p se da previamente y en que no se busca un número par, sino una potencia de 2.

Si alguien sabe algo, con mucho gusto lo publicaré citando su procedencia.

Dentro de unos días analizaremos el problema desde el punto de vista de los restos potenciales.

5 comentarios:

TOMAS dijo...

Estas en el mismo camino que he estado yo , mira:
http://oeis.org/search?=xordan&language=english

Y encontrarás algunas series algo relacionadas con tu conjetura...

Anónimo dijo...

p=2^n-1
q= 2^m-1
(p y q son primos de mersenne)

p+q=2^x
????

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias a los dos por los comentarios. Ya me imaginaba, Tomas, que alguien habría estudiado cuestiones similares a la que propongo. El problema que a mí se me presenta es que la suma de los dos números primos no la puedo fijar, y así no me libro de posibles bucles sin fin para números grandes.

Un saludo a los dos.

TOMAS dijo...

Yo creo que es más fácil hacer una búsqueda "tipográfica-binaria"
ejemplo : para encontrar el "comple2" de 37
1.-lo convertimos en binario:
1 0 0 1 0 1
2.- para convertirlo en 1000000 (siguiente potencia de 2 =64)
tenemos que sumar 0 1 1 0 1 1
es decir 27 (37+27=64)
3.- Ahora buscamos un número primo que en binario tenga como característica que sus 5 últimas cifras sean 011011 y que las siguientes es decir desde la primera hasta la sexta posición contando desde la izquierda sean 1(*) resultado:
11111011011 = 2011
(*) = así se garantiza que nuestro resultdo sea de la forma un solo 1 seguido de ceros forma binaria de las potencias de 2.
(Cosas que se me ocurren sin ser matemático ni nada parecido, solo un desocupado)
Si se analiza: 37 sera comple2 de cualquier primo que tenga la forma predicha.

Antonio Roldán Martínez dijo...

Gracias de nuevo, Tomás.

Lo de la expresión binaria me gusta. Puede ser prometedor. El único problema es cómo analizar que es primo el complementario cuando es muy grande.

Lo estudiaré.