¿Alguien sabe algo de esto? (1)

Hace unas semanas, con motivo del año nuevo, llegué a la expresión 2011=2¹¹-37. Una vez publicada, se me ocurrió preguntarme qué otros números primos se pueden expresar igualmente como una potencia de 2 menos otro número primo.

Programé la hoja de cálculo para encontrar el menor número primo que sumado a otro dado produce una potencia de 2. Todo fue bien salvo en ciertos primos, como 7, 43, 101, 127, 151, 223,…Busqué e investigué qué podían tener de particular esos primos y no llegué a ninguna conclusión. Mejoré y simplifiqué el algoritmo y me di cuenta de que simplemente los resultados sobrepasaban los registros de la hoja.

Así que definí, para todo número primo p, la función comple2(p), como el menor número primo que sumado a p da como resultado una potencia de 2.

Por ejemplo: comple2(857)=167, ya que 857+167=1024=2¹⁰.

Implementé esta función en Excel y OpenOffice.org con este código:

Public Function comple2(n)
Dim b, a
b = 2
a = b - n
While esprimo(a) = 0
b = b * 2
a = b - n
Wend
comple2 = a
End Function

 y así logré esta tabla

P	COMPLE2(P)	P	COMPLE2(P)
2	2	97	31
3	5	101	67108763
5	3	103	409
7	549755813881	107	149
11	5	109	19
13	3	113	911
17	47	127	140737488355201
19	13	131	16253
23	41	137	887
29	3	139	373
31	97	149	107
37	2011	151	2147483497
41	23	157	32611
43	536870869	163	349
47	17	167	89
53	11	173	83
59	5	179	3917
61	3	181	331
67	61	191	16193
71	953	193	2096959
73	439	197	59
79	433	199	313
83	173	211	33554221
89	167	223	¡Imposible!

Sólo existe un primo que resulta igual a su complementario: naturalmente el 2. La  relación no es simétrica, porque por ejemplo comple2(13)=3 y sin embargo comple2(3)=5

Al llegar al 223 fue imposible lograr su imagen. Los registros de datos no daban más de sí. Por ello, me decidí a usar un programa CAS. Como intento trabajar siempre con software gratuito, acudí a la calculadora Wiris, con el algoritmo que puedes estudiar en la imagen, y ahí se produjeron los resultados sorprendentes:

Comple2(223)=3705346855594118253554271520278013051304639509300498049262642688253220148477729

Comple2(809)=285152538601387201165073225356268207805826781703034995661199532368704697950542336656619550707335712486165144348349650456918044045085964874890791332482638386765749667147516559380179637015411927

Comple2(947)=485667223056432267729865476705879726660601709763034880312953102434726071301302123597

Como no me acababa de fiar, acudí al programa wxMaxima con un código similar, pero ajustando el valor inicial de la potencia para evitar valores negativos:

n:223$
b:256$
c:b-n$
for i:1 unless primep(c) do (
b:b*2,
c:b-n
)$
display(c);

 y confirmé los resultados anteriores.

Se ve que el cálculo de este complementario de un número primo se puede complicar muchísimo, pero, ¿dará lugar en algún caso a un bucle sin fin? ¿existirá algún número primo que nunca pueda ser completado a una potencia de 2?

También he buscado en OEIS  y la secuencia 2, 5, 3, 549755813881,5, 3, 47, 13, 41,… no está recogida, aunque la A096822 se le parece.


Ahí es donde pido ayuda, porque yo no lo sé. ¿Existe este teorema o al menos como conjetura?:

Para todo número primo p existe al menos otro número primo q tal que la suma de ambos es igual a una potencia de 2.

Se parece a la conjetura de Goldbach, pero se diferencia en que p se da previamente y en que no se busca un número par, sino una potencia de 2.

Si alguien sabe algo, con mucho gusto lo publicaré citando su procedencia.

Dentro de unos días analizaremos el problema desde el punto de vista de los restos potenciales.