Proporción entre cubo y cuadrado

Una entrada reciente del blog Números  y otra más antigua de este mismo blog me han sugerido una cuestión:

Dados dos números primos distintos p y q, ¿es posible siempre encontrar un cubo perfecto y un cuadrado perfecto que cumplan

con k y m números naturales siendo p y q primos distintos?

La respuesta es afirmativa, y además, con infinitas soluciones ¿por qué?

Por ejemplo, para p=2 y q=5 las primeras soluciones son k₁=10, m₁=20, k₂=40, m₂=400, k₃=90, m₃=1350…