Primos brasileños

En esta entrada nos plantearemos qué números primos se pueden formar con la suma de las primeras potencias de un número, es decir, cuándo una suma del tipo 1+n+n²+n³+n⁴+n⁵+…será un número primo. No consideraremos el caso en el que un primo p sea igual a 1+n, ya que esto lo cumplen todos los primos.

Esta cuestión equivale a la búsqueda de números primos que sean “repitunos” en una base de numeración dada. Por ejemplo, 31(10=111(5, ya que las tres cifras 1 provienen de la igualdad 31=1+5+5².

Función caracterizadora

En nuestras últimas entradas estamos usando funciones para Excel y Calc que devuelven una cadena de texto con los resultados. Es un formato que nos da mucha información y que es susceptible de cambios sencillos para la búsqueda de otros objetivos.

En este caso usamos la siguiente función:

Function primo_sumpot$(n)
Dim p, k, m, q
Dim s$

If Not esprimo(n) Then primo_sumpot = "NO": Exit Function
k = 2 ‘Base de las potencias
p = 1’Suma de potencias
m = 0’ Exponente
s = ""’Contenedor del resultado
q = 0’ Contador de soluciones
While k < n
p = 1 + k: m = 1’Primera suma de potencias
While p <= n
m = m + 1’ Siguiente suma de potencias
p = p + k ^ m
If p >= n Then
If p = n Then q = q + 1: s = s + " # " + Str$(k) + ", " + Str$(m) ‘Solución
End If
Wend
k = k + 1: p = 1 + k: m = 1 ‘Siguiente base de potencias
Wend
If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(q) + "## " + s
primo_sumpot = s
End Function

Si buscamos con ella los primeros primos que cumplen lo exigido, obtenemos:

Observamos que la mayoría de las soluciones son del tipo 1+k+k², como, por ejemplo, el 73, que equivale a 1+8+8².

El 31 presenta dos soluciones: 31=1+2+2²+2³+2⁴=1+5+5², lo que lo convierte en “repituno” en dos bases de numeración:

31(10 = 11111(2 = 111(5

Según una conocida fórmula, estos números también se caracterizan porque para un valor adecuado de m se cumple

En efecto, 31=(2⁵-1)/(2-1)=(32-1)/1=31

También 31=(5³-1)/(5-1)=124/4=31

Para que el resultado sea primo, m ha de ser primo, pues en caso contrario el cociente presentaría más de un factor. Es un razonamiento similar al usado en los primos de Mersenne.

Estos primos están publicados en https://oeis.org/A085104

Con el afán de nombrar ciertas clases de números, a estos se les conoce como “brasileños”, porque se dieron a conocer en una olimpiada matemática celebrada en Brasil (ver https://oeis.org/A125134/a125134.pdf)

Números brasileños

Si eliminamos la condición de que N sea primo, nos resultan los números brasileños. En nuestra función suprimimos la condición de que sea primo y los obtendremos:

Están publicados en https://oeis.org/A053696

No son objeto de estudio en esta entrada, pero es aconsejable la lectura de https://oeis.org/A125134/a125134.pdf

Valores de K

La siguiente lista contiene los primeros valores de K que pueden producir un primo con la expresión que estamos estudiando, con un exponente final fijado de antemano, mayor que 2 y con tope 100:

Observamos que hay bases primas entre estos primeros pasos:

Los primos resultantes, ordenados, están publicados en https://oeis.org/A023195

3, 7, 13, 31, 127, 307, 1093, 1723, 2801, 3541, 5113, 8011, 8191, 10303, 17293, 19531, 28057, 30103, 30941,…