Generación de primos sumando cuadrados y otros (2)

En la anterior entrada generamos sucesiones de primos en la que cada término era el menor primo con diferencia cuadrada respecto al anterior. De forma más breve realizaremos un recorrido con otros casos que tengan otro carácter.

Triangulares

En el caso de cuadrados usábamos la función PRIMSALTO (ver entrada anterior del blog).

Ahora sustituimos en la función PRIMSALTO la función ESCUAD por la función ESTRIANGULAR, y elegimos el 2 como primo de inicio. Con ello encontraremos los primeros primos que posean una diferencia triangular con el anterior, siendo cada uno el mínimo con esa propiedad.

Obtenemos:

Aquí lo interesante es que todas las diferencias, salvo la primera, han de ser pares, por lo que los órdenes de las mismas han de pertenecer a uno de los tipos 4k o 4k-1. Es fácil razonarlo a partir de la expresión n(n+1)/2.

Con este inicio del primo 2, están publicados en

https://oeis.org/A275030

Ocurre con estos primos algo similar a lo que se observaba en el caso de cuadrados, y es que si se alcanza un primo del tipo 6n+5, todos sus consecutivos comparten ese mismo tipo. Lo puedes comprobar en el caso de 97, que hemos elegido al azar:

A partir del 137 todos son del tipo 6n+5. Se puede razonar estudiando seis casos. En primer lugar distinguiremos entre triangulares de orden 4k o de orden 4k-1 (ver párrafos anteriores) y dentro de ellos, que k sea del tipo 3m, 3m+1 o 3m-1. Lo desarrollamos suponiendo que partimos de un primo del tipo 6n+5 y llamamos T al triangular que se suma:

Primer caso T=2k(4k+1)=8k²+2k

6n+5+T=6n+5+8k²+2k

Si k=3m T es múltiplo de 6, luego sigue la forma 6n+5

Si k=3m+1. T=8(3m+1)²+2(3m+1)=72m²+48m+8+6m+2 que da resto  4 módulo 6, luego pasa al tipo 6n+3, que no es primo. No nos vale.

Si k=3m-1  T=8(3m-1)²+2(3m-1)=72m²-48m+8+6m-2 múltiplo de 6, luego respeta el 6n+5

Segundo caso    T=2k(4k-1)=8k²-2k

Si k=3m es T múltiplo de 6 y respeta el 6n+5

Si k=3m+1 8(3m+1)²-2(3m+1)=72m²+48m+8-6m-2, múltiplo de 6 y respeta el tipo 6n+5

Si k=3m-1  8(3m-1)²-2(3m-1)=72m²-48m+8-6m+2 resto 4 y no resulta primo

O no son válidos los triangulares, porque den resto 4 y convertirían 6n+5 en 6n’+9, no primo o bien se suma un múltiplo de 6 y sigue 6n+5.

Queda, pues, comprobado que al llegar a un primo de ese tipo, se conserva ese carácter.

Primos iniciales, sin antecedentes

Procediendo de forma similar al caso de los cuadrados, descubrimos que estos primos no tienen antecedentes:

3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 139, 151, 157, 163, 167, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 229, 241, 251, 263, 269, 271

No debemos confundirnos. En el listado parece que 11 es antecedente de 17, pues su diferencia es el triangular 6, pero la existencia del intermedio 13 invalida la idea.

Primos consecutivos

También en el caso de saltos triangulares se observan primos consecutivos. Estos son los primeros:

23, 29

31, 37

47, 53

53, 59

61, 67

73, 79

83, 89

131, 137

139, 149

151, 157

157, 163

167, 173

173, 179

181, 191

Con cubos

Procediendo de igual forma que en los tipos anteriores obtenemos:

Están publicados en https://oeis.org/A076201, y no presentan, aparentemente, propiedades de interés.

Con oblongos

Al ser los oblongos números pares que son doble de un triangular (son del tipo n(n+1)), se merecen un repaso. Con ellos no se puede iniciar con el primo 2. Estos son los primeros conseguidos con inicio 3:

 

Con oblongos, el tipo de primo que perdura es el 6n+1. En la tabla comprobamos que este hecho comienza en el 7.

Si llamo O al oblongo (da igual su orden, porque siempre es par) tendremos:

6n+1+O = 6n+1+k(k+1)

Si k=3m, 6n+1+(3m)(3m+1) sigue el tipo 6n+1 pues el producto es múltiplo de 6

Si k=3m+1. 6n+1+k(k+1)=6n+1+(3m+1)(3m+2) sería no válido, por ser la suma múltiplo de 3

Si k=3m-1, 6n+1+k(k+1)=6n+1+(3m-1)(3m) sería idéntico al primer caso.

Así que los saltos válidos respetan el tipo 6n+1

Siguiendo un proceder de este blog, cuando se tratan varios tipos de números, al avanzar se prescinde de algunos detalles, para no cansar y también para dar oportunidad a los lectores que deseen explorar por su cuenta. Así que aquí dejamos el tema.