Regresos 2: La mitad, cuadrado, el tercio, cubo

En los primeros tiempos de este blog se lanzaban retos a los lectores, pero luego se cambió el estilo. Entre ellos figuraba este:

Encuentra los primeros números naturales N que admiten estas dos descomposiciones:

N = 2n² = 3m³

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2009/05/la-mitad-cuadrado-el-tercio-cubo.html)

 Búsqueda por razonamiento

La idea propuesta era jugar con los factores primos de cada miembro de la igualdad. Así, en m³ debe figurar el factor 2, y en n² el factor 3:

Los introducimos y nos quedarán dos potencias p² y q³:

2*3*3*p²=3*2*2*2*q³ o bien 18p²=24*q³

En el primer miembro falta el 2 respecto al segundo, que lo extraemos de p², y en el segundo falta un 3, extraíble de q³:

2*3*3*2*2*r²=3*2*2*2*3*3*3*s³, es decir,  72*r²=648*s³

Como 648/72=9, lo extraemos de r²:

72*3*3*u²=648*v³

Podemos hacer u=v=1 y resulta la primera solución: N=648

Así que 648 = 2*18² = 3*6³

Si  multiplicamos 648 por m⁶ , siendo m cualquier número natural, resultarán las demás, ya que m⁶ contendrá un cuadrado por un lado y un cubo por otro:

Esas soluciones están publicadas en http://oeis.org/A185270

0, 648, 41472, 472392, 2654208, 10125000, 30233088, 76236552, 169869312, 344373768, 648000000, 1147971528, 1934917632, 3127772232, 4879139328, 7381125000, 10871635968, 15641144712, 22039921152, 30485730888, 41472000000, 55576446408, 73470177792, 95927256072 (En OEIS siempre se inicia en 0 si es posible)

Ya que conocemos el procedimiento, crearemos una tabla de Excel:

En ella figuran las primeras sextas potencias, su producto por 648 y los valores para n y m en el enunciado del problema. Evidentemente, coinciden con los elementos publicados en OEIS.

De los razonamientos anteriores se desprende que el número mínimo (en este caso 648) ha de poseer solo los factores primos 2 y 3, y si después se multiplica por potencias sextas, aparecerán otros factores.

En la igualdad N = 2n² = 3m³ podemos llamar u al exponente del 2 en n y v al que tiene en m. Se cumplirá:

1+2u=3v, es decir, que u=(3v-1)/2

Esto obliga a que v sea impar, y dando valores:

Si v=1, u=1, N presentará un exponente igual a 3, que es el que tiene la solución 648.

Con el factor 3 podemos razonar igual, si r es su exponente en n y s el de m, se cumplirá: 2r=1+3s y r=(1+3s)/2, con lo que s también será impar.

Si s=1, r=2, y N tendrá de exponente 2r=4 (o 1+3s=4), que también coincide con el exponente de 648.

Ese tipo de razonamiento sería válido para otras propuestas.

 

Búsquedas con una función

En la entrada de hace años se proponía que N= 2n² = 5m⁵

La primera solución era el número  500000=2*500²=5*10⁵

Después habría que multiplicar por potencias décimas.

¿Y en el caso de N= 3n³ = 5m⁵ y otros similares?

Podemos caracterizar los números buscados mediante una función de hoja de cálculo. Está diseñada para tratar el caso general: N=p*n^p=q*m^q.

Public Function expocoef(n, p, q) As Boolean

‘Los parámetros son N y los dos exponentes p y q

Dim k, j

k = Int((n / p) ^ (1 / p) + 0.00000001) ‘Posible valor de n

j = Int((n / q) ^ (1 / q) + 0.00000001) ‘Posible valor de m

If p * k ^ p = n And q * j ^ q = n Then expocoef = True Else expocoef = False

End Function

Lo aplicamos al caso p=2 y q=3, los propuestos en un principio, buscamos los números que lo cumplen y queda:

No seguimos la búsqueda porque ya conocemos la teoría. Sólo se trataba de confirmarla.

En el caso de p=2 y q=5 podemos traducir la función a PARI, que es más rápido:

expocoef(n,p,q)={my(k,j);k=round((n/p)^(1/p));j=round((n/q)^(1/q));p*k^p==n&&q*j^q==n}

for(i=1,100000,if(expocoef(i,2,3),print(i)))

Es más sintético porque devuelve el valor p*k^p==n&&q*j^q==n, que da forma a la condición propuesta. Para p=2 y q=3 da rápidamente las dos primeras soluciones 648 y 41472:

Para p=2 y q=5 devuelve:

Ya conocíamos el valor 500000 como primera solución.

Otro ejemplo: para p=2 y q=7 la solución es:

N=737894528=2*19208^2=7*14^7

Aquí copiamos las primeras soluciones en los casos más simples:

 

Versión rápida de la búsqueda

Si solo estudiamos las primeras soluciones, sin factores extraños a los dados en la cuestión, podemos usar un código similar a este:

expocoef(n,p,q)={my(k,j);k=round((n/p)^(1/p));j=round((n/q)^(1/q));p*k^p==n&&q*j^q==n}

for(i=1,10,for(j=1,10,m=3^i*5^j;if(expocoef(m,3,5)>0,print(m))))

Está adaptado al caso de N= 3n³ = 5m⁵

Al usar solo potencias, es muy rápido, y nos da en segundos la primera solución:

Así podríamos proceder en otros casos.