Estos números, llamados así por Richard Duffy, son números
compuestos que son primos con la suma de sus divisores, es decir, con el valor
de la función SIGMA (s).
En ellos no existe ningún divisor común entre N y s(N).
Por ejemplo, es duffiniano el 111, que es compuesto, ya que
111=3*37, y la suma de sus divisores es s(111)=111+37+3+1=152,
cuya descomposición factorial es 23*19. Los factores primos de 111
son 3 y 37, mientras que los de la suma de sus divisores son 2 y 19, luego son
primos entre sí y 111 es duffiniano.
Se excluyen los primos porque cumplen la condición de forma
trivial: si p es primo, s(p)=1+p,
y dos números consecutivos siempre son primos entre sí (intenta calcularles el
M.C.D.).
En el resto del texto podremos aplicar la propiedad de que
SIGMA es una función multiplicativa
es decir, que si m y n son primos entre sí, se cumple que s(a.b)=s(a).s(b)
Lista de
los primeros números duffinianos
En este estudio no es necesario acudir a un algoritmo. Basta
exigir que MCD(N,SIGMA(N))=1.
En Excel disponemos de la función M.C.D y en PARI gcd.
Respecto a la función SIGMA, no está implementada en hojas de cálculo, pero
puedes usar la diseñada para este blog en
En PARI se usa la función sigma, tal cual.
Puedes construir una lista en la que todos los números sean
coprimos con los valores de SIGMA en ellos. Los primeros que obtendrás son los
siguientes:
4, 8, 9, 16, 21, 25, 27, 32, 35, 36, 39, 49, 50, 55, 57, 63,
64, 65, 75, 77, 81, 85, 93, 98, 100, 111, 115, 119, 121, 125, 128, 129, 133,
143, 144, 155, 161, 169, 171, 175, 183, 185, 187, 189, 201, 203, 205, 209, 215,
217, 219, 221, 225, 235, 237, 242, 243, 245, 247,…
Esos son los primeros números duffinianos. Los tienes
publicados en http://oeis.org/A003624
Como su búsqueda no presenta problemas, nos dedicaremos aquí
a estudiar tipos especiales y a explicar propiedades.
Tipos
especiales
Hemos visto que entre ellos no hay números primos, pero sí
observamos que pertenecen a la lista potencias de primos, como 8, 9, 16, 27,…
Para estudiarlos nos basta con el siguiente desarrollo:
Vemos que la potencia únicamente es divisible entre p y sus
primeras potencias, pero en el segundo siempre obtendríamos un resto igual a 1
al dividir. Por tanto:
Todas las potencias
de un número primo y exponente mayor que 1 son números duffinianos.
Esta propiedad garantiza la infinitud de los números de este
tipo.
Semiprimos
Los número semiprimos N se descomponen como N=p*q, siendo p
y q primos. Si ambos son iguales, N será el cuadrado de un número primo, y
acabamos de ver que sí será duffiniano. Si son distintos p y q, no todos estos
semiprimos lo serán. En efecto, por la propiedad multiplicativa, si N=pq con
p<>q, tendremos s(N)= s(p)*
s(q)=(1+p)(1+q)
Para que N sea duffiniano, ha de ser primo con s(N), lo que exige que p
sea primo con q+1 y q lo sea con p+1. No todos los pares de primos cumplen esta
condición. Los primeros que sí la cumplen son:
21, 35, 39, 55, 57, 65, 77, 85, 93, 111, 115, 119, 129, 133,
143, 155, 161, 183, 185,…
Por ejemplo, 35=5*7, s(35)=(5+1)(7+1)=48,
que es primo con 35.
Por el contrario, existen otros semiprimos que, o bien p tiene factores comunes con q+1 o q los posee con p+1. Los
primeros son estos:
15, 33, 51, 69, 87, 91, 95, 123, 141, 145, 159, 177, 213,
249, 267, 287,…
Así, por ejemplo, 69=3*23 y s(69)=(3+1)(23+1)=96,
que posee un divisor común con 69, que es el 3. Esto se ha producido porque 3 no
es primo con (23+1)
Resumiendo, existen
semiprimos duffinianos y otros que no lo son, dependiendo de las relaciones
entre sus dos factores.
Cuadrados
Todos los cuadrados de primos pertenecen a este tipo que estudiamos,
pero también existen cuadrados de compuestos. En la tabla se han incluido los
primeros, junto con el valor de SIGMA y la descomposición factorial de ambos,
para comprobar que no presentan factores comunes.
Observamos que entre ellos figuran potencias de primos, que ya sabemos
que pertenecen. Entre los de base compuesta, vemos que los hay de dos factores
primos distintos y también de tres, como el 900, por lo que no parece que haya
limitación en este detalle.
Triangulares y oblongos
Un número triangular es del tipo m(m+1)/2. Los primeros triangulares
duffinianos son:
3, 21, 36, 55, 171, 253, 325, 351, 595, 741, 903, 1081, 1225, 1711,
1953,…
Por ejemplo, 325 es triangular, porque 325=25*26/2, el valor de s(325)=434, y no tienen
divisores comunes, ya que 325=52*13 y 434=2*7*31
Con los oblongos la situación es muy distinta. Sólo he encontrado seis
ejemplos, que suben pronto a números de trece cifras. He seguido buscando, y no
he encontrado más ejemplos empleando un tiempo razonable.
Son estos: 2, 2450, 2827442, 3262865762, 3765344262050, 4345204015540082
Por ejemplo, 3262865762 es oblongo, porque 3262865762=57121*57122. Su
función SIGMA tiene el valor de 5324420103. Ambos números son primos entre sí.
3262865762=2*134*2392 y 5324420103=3*19*3019*30941
No tienen factores comunes.
Cubos y cuartas potencias
En estos dos caso deberemos excluir las potencias de primos, que ya
sabemos con seguridad que son duffinianos.
Cubos
Usaremos una condición triple, y es que sea un cubo, también duffiniano
y, por último, que su base no sea prima. Con este condicionamiento sólo
obtenemos estos casos entre 2 y 50000:
Un ejemplo sería el 9261, que es el cubo de 21, por lo que sus factores
primos son 3 y 7. La suma de divisores de 9261 es 16000, cuyos factores es
claro que son 2 y 5. Por tanto, 9261 es duffiniano.
Cuartas potencias
Procedemos de la misma forma, y obtendremos estos primeros casos
menores que 100000:
Así, 38416 es igual a 144, por lo que sus factores serán 2 y
7. Su función SIGMA tiene un valor de 86381, que es el producto de 31 por 2801,
números primos que no coinciden con 2 y 7.
Otra curiosidad
Duffinianos consecutivos
Estudiando la lista de duffinianos se observa que existen en ella
consecutivos, como 8 y 9. No es difícil encontrar más ejemplos. En la lista
siguiente figura el primer número del par. En ella también existen pares de
consecutivos, que suponen un conjunto de tres:
8, 35, 49, 63, 64, 128, 143, 242, 323, 324, 391, 399, 484, 511, 512,
575, 578, 721, 722, 784, 799, 899, 900, 1024, 1057, 1156, 1250, 1295, 1351,
1443, 1444, 1681, 1921, 1936,…
En efecto, la lista descubre conjuntos de tres consecutivos {63, 64, 65}, {323, 324,
325}, {511, 512, 513},…
Con esto se puede dar por agotado el tema.
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